整环与域

在环里，即使两个因子都不为零，积也可能为零。整环排除这种零因子；域进一步要求每个非零元素都能作乘法除法。整数、有理数与模数运算的区别，正好能把这两层条件分开。

三种熟悉对象的对照

整数 $\mathbb{Z}$ 中，非零整数之积不为零；但方程 $2x=1$ 没有整数解。它是整环，不是域。有理数 $\mathbb{Q}$ 中，任何非零数 $a/b$ 都有逆 $b/a$；它是域。

模六余数环不同：$[2][3]=[0]$，虽 $[2]$ 与 $[3]$ 都非零，所以它不是整环。模五余数则没有这种情形，而且 $[2][3]=[1]$，故 $[3]$ 是 $[2]$ 的逆。其他三个非零余数也各有逆，因此模五余数构成域。

对象	有零因子？	每个非零元素可逆？	结论
$\mathbb{Z}$	无	否，例如 2	整环，非域
$\mathbb{Q}$	无	是	域，也为整环
$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$	有，$[2][3]=[0]$	否	非整环、非域
$\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$	无	是	域，也为整环

精确定义与消去律

在本条约定下，整环是 $1\ne 0$ 的交换含幺环，且 $$ab=0⟹a=0\text{或}b=0.$$ 域是 $1\ne 0$ 的交换含幺环，且每个非零 $a$ 都存在 $a^{-1}$ 满足 $a{a}^{-1}=1$。域必为整环：若 $ab=0$ 且 $a\ne 0$，乘 $a^{-1}$ 得 $b=0$。

整环中非零因子可以消去。若 $ab=ac$ 且 $a\ne 0$，则 $a(b-c)=0$；无零因子条件迫使 $b-c=0$，故 $b=c$。反过来，若每个非零元素都可从乘法等式中消去，那么从 $ab=a0$ 可推出 $b=0$。因此“没有零因子”与这种消去律等价；但消去不是除法，因为商 $b/a$ 未必属于原环。

模 $n$ 何时是域

对于整数 $n\ge 2$，$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 是域当且仅当 $n$ 是素数。先设 $n=p$ 为素数。任取非零余数 $[a]$，则 $p\nmid a$，从而 $gcd(a,p)=1$。由贝祖等式存在整数 $u,v$ 使 $au+pv=1$；模 $p$ 后有 $[a][u]=[1]$，因此每个非零类有逆。

反过来，若 $n$ 合成，可写成 $n=rs$，其中 $1<r,s<n$。于是 $[r]$、$[s]$ 都不是零类，乘积却是 $[0]$。它有零因子，因而不可能是域。证明也说明模合数下失败的不是某个求逆算法太慢，而是某些元素数学上根本没有逆。

例：求解 $2x\equiv 1(\mathrm{mod}5)$，因 $[2{]}^{-1}=[3]$，两侧乘 3 得 $x\equiv 3(\mathrm{mod}5)$。把模数换成 6 时，$2x$ 的余数只可能是 0、2、4，不会是 1；这时不能照搬“除以 2”的一步。

有限整环为何自动成为域

这个结论对有限整环成立，整数本身无限，不能套用。取有限整环 $D$ 中非零元素 $a$，考察映射 $m_a:D\to D$，$x\mapsto ax$。若 $ax=ay$，消去非零 $a$ 得 $x=y$，所以 $m_a$ 单射。有限集合到自身的单射必满射，于是单位元 $1$ 也在像中：存在 $x$ 使 $ax=1$。交换性给出 $xa=1$，故 $x=a^{-1}$。对每个非零 $a$ 都如此，$D$ 是域。

这一证明只保证逆元存在，不一定告诉我们如何高效求逆；在素数模数下，扩展欧几里得算法给出可执行的求逆方法。讨论有限域规模或多项式构造时，还须区分“有 $p$ 个元素的素域”和有 $p^k$ 个元素的其他有限域，不可从本定理误推每个有限域都只是整数模素数。

来源与相关词条

• Thomas W. Judson《Abstract Algebra: Theory and Applications》，环及整环的定义与实例。
• 同书，§16.2：消去律、有限整环必为域及素数模数的例子。
• 先修：环、同余、贝祖等式；相关：模逆元、中国剩余定理。