环

环（ring）是在同一组对象上同时定义加法和乘法的结构。整数是最熟悉的例子：可加、可减、可乘，乘法对加法分配；但一般不能用另一个整数去除。抽象环保留这些规则，让多项式、余数类和矩阵也能放在同一语言中研究。

从模六余数看两种运算

把整数按除以 6 的余数分成 $[0],[1],\dots ,[5]$ 六类。对代表先做加法或乘法，再取余数。例如 $$[4]+[5]=[9]=[3],[4][5]=[20]=[2].$$ 换代表也不会改变结果：若 $a^{\prime }=a+6k,b^{\prime }=b+6\ell$，那么 $a^{\prime }+b^{\prime }-(a+b)$ 是 6 的倍数，且 $$a^{\prime }{b}^{\prime }-ab=6(kb+\ell a+6k\ell )$$ 也为 6 的倍数。因此这些运算是在余数类上定义，而不是偶然对某两个代表算对了。

记这个环为 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$。它有一个整数中没有的现象：$[2]\ne [0]$、$[3]\ne [0]$，但 $[2][3]=[0]$。所以环里的非零元素相乘，结果未必非零；不能随意把一个非零因子从等式两边“约掉”。

环的公理

本条采用有乘法单位元的约定。集合 $R$ 连同 $+$ 与 $\cdot$ 构成环，需满足：

1. $(R,+)$ 是阿贝尔群：加法封闭、结合、可交换，有零元 $0$，每个 $a$ 有加法逆元 $-a$；
2. 乘法封闭且结合：$(ab)c=a(bc)$；有乘法单位元 $1$，使 $1a=a1=a$；
3. 左右分配律都成立：$a(b+c)=ab+ac$ 与 $(a+b)c=ac+bc$。

不要求乘法交换；若 $ab=ba$ 对所有元素成立，才称交换环。有的教材不要求环有 $1$；阅读不同教材时需注意约定。本条允许 $0=1$ 的零环，但谈整环或域时排除它。

零乘任何元素仍是零，可以只用公理证明：由 $(0+0)a=0a+0a$，左边等于 $0a$，两边加上 $-(0a)$ 得 $0a=0$；另一侧同理。再由 $(a+(-a))b=0$ 可得 $(-a)b=-(ab)$。这些看似熟悉的运算习惯在抽象环里需要从公理得来。

哪些运算可以交换次序

整数、实数以及模六余数类都是交换环。方阵则给出非交换环：相同大小的实方阵可按通常方式加、乘，零矩阵和单位矩阵分别是两种运算的单位元，但乘法未必可交换。令 $$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right).$$ 逐行乘列得到 $$AB=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right),BA=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right).$$ 它们不相等。由此可见 $A(B+C)=AB+AC$ 仍可用，但把 $AB$ 直接改成 $BA$ 不行。

函数也能构成环。例如所有从一个集合 $X$ 到实数的函数，按 $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$、$(fg)(x)=f(x)g(x)$ 逐点运算。零元是处处为零的函数，单位元是处处为一的函数。这说明环研究的是运算规律，不限于“整数形状”的对象。

零因子、可逆元与消去

若 $a,b\ne 0$ 却有 $ab=0$，则 $a,b$ 称为零因子。模六的 $[2],[3]$ 就是一对。若 $ab=ac$，只能推出 $a(b-c)=0$；在有零因子的环中，未必能推出 $b=c$。例如模六中 $[2][1]=[2][4]=[2]$，但 $[1]\ne [4]$。

若元素 $u$ 有双侧乘法逆元 $v$，即 $uv=vu=1$，则称 $u$ 为单位。模六的 $[5]$ 可逆，因为 $[5{]}^2=[1]$；$[2]$ 不可逆，否则由 $[2][3]=[0]$ 两侧乘其逆会推出 $[3]=[0]$。没有零因子与“每个非零元素都有逆”也不是一回事：整数没有零因子，但整数 2 没有整数乘法逆元。二者分别导向整环与域。

读题时先辨认所处的环及运算，再判断能否做消去或除法；把实数中的计算习惯原封不动搬到模数、矩阵或多项式里，可能在这一处失效。

来源与相关词条

• Thomas W. Judson《Abstract Algebra: Theory and Applications》，§16.1：环的公理及整数、余数类和矩阵例子。
• 先修：群、同余、矩阵；后续：整环与域、多项式除法与余式定理。