旋转体体积

平面区域绕一条直线旋转后形成的立体称旋转体。当区域在 $a\le x\le b$ 内位于 $y=f(x)\ge 0$ 与横轴之间，绕横轴一周，横截面是半径 $f(x)$ 的圆盘，因此 $$V=\pi {\int }_a^b[f(x){]}^{2}dx.$$

从薄圆盘推出公式

把横向区间分成宽度 $\Delta x_i$ 的小段。每段旋转后近似一片圆柱，体积约为 $\pi f({\xi }_i{)}^2\Delta x_i$。把所有片相加，分割越细，和越接近体积；连续函数保证这个黎曼和趋于上述积分。这里积分的是截面积而非半径，漏掉平方会使量纲由立方长度误成平方长度。

取 $f(x)=x$、$0\le x\le 2$，旋转得到高2、底面半径2的圆锥。 $$V=\pi {\int }_0^2{x}^{2}dx=\frac{8\pi }{3}.$$ 与圆锥体积 $\pi r^{2}h/3=\pi \cdot 4\cdot 2/3$ 一致；几何公式为积分结果提供独立核验。

有空心时减去内盘

若区域位于两条非负曲线 $0\le g(x)\le f(x)$ 之间，绕横轴后每片横截面是外半径 $f(x)$、内半径 $g(x)$ 的圆环，故 $$V=\pi {\int }_a^b(f(x{)}^2-g(x{)}^2)dx.$$ 例如 $f(x)=x$、$g(x)=x/2$、区间 $[0,2]$，体积为 $\pi {\int }_0^2(3x^2/4)dx=2\pi$。如果转轴换为别的直线，半径必须重算为点到转轴的距离，不能仍把函数值当半径。

参考资料

• OpenStax《Calculus Volume 1》§6.2：切片、圆盘与圆环法。
• OpenStax《Contemporary Mathematics》§10.6：圆面积作为截面积基础。