无源性

无源性（passivity）描述系统在选定输入输出端口上不凭空产生净能量的一种性质。它要求存在非负储存函数，使储存量的增加不超过从端口输入的供给；系统可以先储能、再把已有储能交还外部。这里“能量”有时是实际机械或电能，有时只是具有相同不等式结构的数学量。

端口供给与储存不等式

对输入 $u\in {ℝ}^m$、输出 $y\in {ℝ}^m$，若存在 $V(x)\ge 0$，使所有允许轨迹满足 $$V(x(T))-V(x(0))\le {\int }_0^{T}u(t{)}^{𝖳}y(t)\mathrm{d}t,$$ 称系统相对于该端口无源。可微情形的充分条件为 $\dot{V}\le u^{𝖳}y$。零初始储能时，系统不能长期向外送出超过所接收的净能量；非零初态可以暂时释放能量，所以不要求每个时刻的输入功率都非负。

弹簧、质量与阻尼

考虑 $m\ddot{q}+b\dot{q}+kq=u$，其中 $m>0,b\ge 0,k\ge 0$，力 $u$ 为输入，速度 $y=\dot{q}$ 为输出。取机械能 $$V(q,\dot{q})=\frac{1}{2}m{\dot{q}}^2+\frac{1}{2}k{q}^2.$$ 沿运动求导并代入方程： $$\dot{V}=\dot{q}(m\ddot{q}+kq)=u\dot{q}-b{\dot{q}}^2\le uy.$$ 因此该端口无源，差额是阻尼耗散。力与速度相乘是功率，积分是功；若输出任意改成位置，$uq$ 不再是这个机械功率，不能原封不动沿用同一证明。

取 $m=1\mathrm{k}\mathrm{g}$、$b=2\mathrm{N}\mathrm{s}/\mathrm{m}$、$k=4\mathrm{N}/\mathrm{m}$，释放前位置一米、速度零，之后 $u=0$。以秒为时间数值，有 $$q(t)=e^{-t}(\cos (\sqrt{3}t)+\frac{\sin (\sqrt{3}t)}{\sqrt{3}}),\dot{q}(t)=-\frac{4}{\sqrt{3}}{e}^{-t}\sin (\sqrt{3}t).$$ 初始能量为两焦耳，且 $V(t)+{\int }_0^{t}2\dot{q}(s{)}^2\mathrm{d}s=2$。图中一部分初始能量逐步转为不可逆耗散，没有外部输入也不违背无源性。

两条曲线分别表示当前储能和从释放开始累计的耗散；同一时刻二者相加保持两焦耳。

无源性与渐近稳定

对这个二阶系统，若 $b>0,k>0$，无输入特征多项式 $m{s}^2+bs+k$ 的两个实根都负，或是一对实部 $-b/(2m)<0$ 的共轭根，故原点指数稳定。这一步另外用了阻尼与刚度条件，不是仅凭 $\dot{V}\le 0$ 就宣布所有状态趋零。

变式。 令 $b=0,k>0$，系统仍无源，但能量守恒，非零初态持续振荡，不渐近趋零。再令 $k=0$，储存函数只看速度，不能检测任意位置偏移。一个输入输出端口无源，并不普遍排除未被储存函数看见的内部动态。

负反馈连接两个无源端口时，内部供给项可相互抵消，从而得到总储存不增；要进一步得到严格衰减，需要严格无源性或适当可检测条件。耗散性将 $u^{𝖳}y$ 推广为其他供给率，统一描述这类能量收支。