耗散性

耗散性（dissipativity）用储存函数和供给率描述动态系统的广义能量收支。供给率决定外部信号按什么规则计入收支；储存函数则衡量系统内部积累了多少。无源性是供给率取输入输出内积的一种特殊耗散性。

从积分定义到微分不等式

设系统状态为 $x$、输入为 $u$、输出为 $y$。给定实值供给率 $w(u,y)$，若存在非负函数 $V(x)$，使每条允许轨迹、每个有限时段都满足 $$V(x(T))-V(x(0))\le {\int }_0^{T}w(u(t),y(t))\mathrm{d}t,$$ 称系统关于 $w$ 耗散。可微情况下，只要沿轨迹有 $\dot{V}\le w$，积分即可得到定义中的关系。供给率可以有负值：这表示系统正在向外送出已有储存量，而非每个时刻都在吸收能量。

选择不同供给率得到不同结论。取 $w=u^{𝖳}y$ 就是无源性；取正数 $\gamma >0$，令 $$w={\gamma }^2\Vert u{\Vert }^2-\Vert y{\Vert }^2$$ 并利用 $V\ge 0$，得到 $\int \Vert y{\Vert }^2\le {\gamma }^2\int \Vert u{\Vert }^2+V(x(0))$。在零初始储存时，这给出输入到输出的 $L^2$ 增益不超过 $\gamma$；非零初态多出明确的初始储存项。

标量系统的配平方证明

考虑 $\dot{x}=-x+u,y=x$，使用归一化变量。取 $V=x^2$、$\gamma =1$，计算 $$\dot{V}=-2x^2+2xu,(u^2-y^2)-\dot{V}=(u-x{)}^2\ge 0.$$ 这直接证明供给率为 $u^2-y^2$ 的耗散性。对零初态和平方可积输入，积分后有 $\Vert y{\Vert }_2\le \Vert u{\Vert }_2$。证明同时说明不等式的松弛来自哪一个平方项。

若从零开始在有限时段施加 $u=1$，则 $x(t)=1-e^{-t}$，储存量为 $V(t)=(1-e^{-t}{)}^2$。累计供给为 $$S(T)={\int }_0^T[1-(1-e^{-t}{)}^2]\mathrm{d}t=\frac{3}{2}-2e^{-T}+\frac{1}{2}{e}^{-2T}.$$ 两者差为 $S(T)-V(T)=\frac{1}{2}(1-e^{-2T})\ge 0$，逐时核对了积分收支。图中这个“储存”是所选数学函数的数值，没有把归一化变量冒充为实际焦耳。

供给量的一部分被储存，另一部分是耗散不等式的余量。两条曲线对应同一输入u=1和零初态。

一般系数与可检查条件

对 $\dot{x}=-ax+bu,y=cx$，$a>0$，尝试 $V=p{x}^2,p>0$。供给率与导数之差为 $${\gamma }^2{u}^2-2pbxu+(2ap-c^2)x^2.$$ 对 $u$ 配平方，余项为 $(2ap-c^2-p^2{b}^2/{\gamma }^2)x^2$，所以条件 $2ap-c^2-p^2{b}^2/{\gamma }^2\ge 0$ 足以证明给定增益界。变式。 取 $a=2,b=c=1$，选择 $p=1/2,\gamma =1/2$，余项恰好为零，得到 $L^2$ 增益不超过二分之一。

储存函数不必唯一，也不必是系统真实物理能量。若它不能约束所有内部方向，仅有输入输出耗散性不能推出全部内部状态稳定；例如独立附加一个不影响输出的增长状态，并不会改变上述端口不等式。要得出状态收敛，应检查储存函数的正定、适当径向增长以及导数或可检测条件。