无迹卡尔曼滤波

无迹卡尔曼滤波（unscented Kalman filter，UKF）利用一组确定性的sigma点，通过非线性模型传播均值、协方差和交叉协方差，再进行高斯形式的观测更新。它通常不需要模型的雅可比；“不用导数”并不意味着不需要模型，或能精确处理任意非线性后验。

sigma点代表哪些量

给定 $n$ 维近似均值 $m$ 和协方差 $P$，令 $\lambda ={\alpha }^2(n+\kappa )-n$，要求 $n+\lambda >0$。取矩阵平方根 $S{S}^{𝖳}=(n+\lambda )P$，sigma点为 ${\chi }_0=m$、${\chi }_i=m+S_i$、${\chi }_{i+n}=m-S_i$，其中 $S_i$ 为第 $i$ 列。均值权重为 $$W_0^{(m)}=\frac{\lambda }{n+\lambda },W_i^{(m)}=\frac{1}{2(n+\lambda )}(i=1,\dots ,2n).$$ 协方差权重除中心点外相同，中心点另加 $1-{\alpha }^2+\beta$。这些点不声称是从真实状态独立抽取的随机样本，而是构造出来的数值积分规则。

平方变换中均值的移动

令 $X\sim N(2,1)$，取 $n=1,\alpha =1,\kappa =0,\beta =2$，于是 $\lambda =0$。三点为 $(2,3,1)$，均值权重 $(0,1/2,1/2)$，协方差权重 $(2,1/2,1/2)$。经平方变换得到 $(4,9,1)$，近似均值为 $(9+1)/2=5$，不是均值直接平方所得的四。

变换后方差为 $$2(4-5{)}^2+\frac{1}{2}(9-5{)}^2+\frac{1}{2}(1-5{)}^2=18.$$ 本例可独立精确复核：写 $X=2+Z,Z\sim N(0,1)$，利用 $E[Z^2]=1,E[Z^3]=0,E[Z^4]=3$，得到 $E[X^2]=5$、$\mathrm{Var}(X^2)=18$，恰好相同。这个匹配是本例的结果，不是所有非线性变换的保证。

sigma点穿过真实非线性函数，保留了本例中使均值上移的曲率效应；它们不是三个实测样本。

用交叉协方差校正状态

若观测 $z=X^2+v$，$v\sim N(0,1)$ 独立，观测方差为 $S=18+1=19$。sigma点还给出状态与观测交叉协方差 $P_{xz}=\frac{1}{2}(3-2)(9-5)+\frac{1}{2}(1-2)(1-5)=4$。读数六时， $$K=4/19,m^{+}=2+\frac{4}{19}(6-5)=\frac{42}{19},P^{+}=1-\frac{16}{19}=\frac{3}{19}.$$ 即便变换矩在这里精确，高斯校正仍只是后验近似，因为平方似然与高斯先验相乘后一般不是高斯分布。

一维实例代码与边界

下例固定上述sigma点参数，只复核平方观测的一次更新。时间和额外空间为常数，返回新均值、新方差、预测观测均值与创新方差；不改写输入。

Python 3

import math

def ukf_square_update(mean, variance, observation, noise_variance):
    if not all(math.isfinite(v) for v in (mean, variance, observation, noise_variance)):
        raise ValueError("finite data required")
    if variance < 0 or noise_variance <= 0:
        raise ValueError("invalid variances")
    d = math.sqrt(variance)
    points = (mean, mean + d, mean - d)
    transformed = tuple(x * x for x in points)
    wm, wc = (0.0, 0.5, 0.5), (2.0, 0.5, 0.5)
    predicted = sum(w * y for w, y in zip(wm, transformed))
    S = noise_variance + sum(w * (y - predicted) ** 2 for w, y in zip(wc, transformed))
    cross = sum(w * (x - mean) * (y - predicted)
                for w, x, y in zip(wc, points, transformed))
    K = cross / S
    return mean + K * (observation - predicted), variance - K * cross, predicted, S

print(ukf_square_update(2, 1, 6, 1))

输出约为 $(2.210526,0.157895,5,19)$。变式。 预测均值为零、方差一时，三个点为 $(0,1,-1)$，平方后观测均值为一、交叉协方差为零。UKF仍无法用一次对称平方观测确定状态的正负，真实后验可能有两峰；需要表达多峰时可考虑更丰富的分布表示。

一般UKF还要先传播状态sigma点、加入过程噪声，再重新生成或增广点集以传播观测；本文为突出原理只计算一次校正。高维实现需要处理矩阵平方根、舍入误差和可能为负的权重。UKF不是对EKF在所有模型下都更精确的排序结论。