无量纲化

无量纲化（nondimensionalization）是在选定参考尺度后，把带单位的变量换成无单位变量，并将方程、初始条件和边界条件一起改写的过程。例如，六十秒和一百八十秒是不同的时间；若分别是两个物体自身的冷却时间尺度，它们又可以表示相同的“冷却进程”。无量纲化保留这个共同进程，同时把具体物体的差别收进尺度或无量纲参数。

量纲分析检查量的单位关系，能帮助寻找参考尺度。本篇从一条完整的冷却方程出发，说明尺度怎样进入导数，通用解怎样换回有单位的预测。

冷却模型中的参考时间

设物体内部温度近似均匀，环境温度固定为 $T_a$。用 $C>0$ 表示整个物体的热容量，单位为焦耳每开尔文；用 $H>0$ 表示物体与环境之间的传热系数，单位为瓦每开尔文。这里的 $H$ 已包含换热面积，不是单位面积的传热系数。假设二者在研究范围内不随温度变化，牛顿冷却模型为 $$C\frac{dT}{dt}=-H(T-T_a),T(0)=T_0.$$ 左边是内能变化率，右边是净输入热功率：物体比环境热时，右边为负。温差既可用开尔文也可用摄氏度的差值表示；涉及比值时使用的是温差，不能把摄氏温度本身当作绝对温度比。

方程还没有求解，就已经给出一个时间尺度： $$t_c=\frac{C}{H},[t_c]=\frac{\mathrm{J}/\mathrm{K}}{\mathrm{W}/\mathrm{K}}=\mathrm{s}.$$ 热容量越大，同样的热功率越难使温度迅速改变；传热越强，变化越快。这两种作用在比值 $C/H$ 中合在一起。$t_c$ 是温差下降到初始温差的 $1/e$ 所需的时间，不是温差恰好降为零的时间。

以下数值是按上述模型设定的教学参数。两物体都从 $80{}^{\circ }\mathrm{C}$ 放入 $20{}^{\circ }\mathrm{C}$ 的环境，物体 A 的 $C=600\mathrm{J}/\mathrm{K}$、$H=10\mathrm{W}/\mathrm{K}$，物体 B 的 $C=1800\mathrm{J}/\mathrm{K}$、$H=10\mathrm{W}/\mathrm{K}$。它们的时间尺度分别是六十秒和一百八十秒。

相同的六十秒，对 A 是一个时间尺度，对 B 只是三分之一个时间尺度。虚线表示环境温度。

从有单位的方程到通用方程

假设初始温差 $\Delta T=T_0-T_a\ne 0$。定义新的时间和温度变量 $$\tau =\frac{t}{t_c},\theta =\frac{T-T_a}{\Delta T}.$$ 两者都是无量纲数。$\tau =1$ 表示经历了本物体的一个时间尺度，$\theta =1/2$ 表示只剩一半初始温差。若物体起初比环境冷，$\Delta T<0$，同样的定义仍然成立；物体升温时，归一化的温差仍从一衰减到零。

要改写方程，先把变量关系反过来写成 $t=t_c\tau$、$T=T_a+\Delta T\theta (\tau )$。由链式法则， $$\frac{dT}{dt}=\frac{\Delta T}{t_c}\frac{d\theta }{d\tau }.$$ 因此原方程变成 $$\frac{C\Delta T}{t_c}\frac{d\theta }{d\tau }=-H\Delta T\theta .$$ 先约去非零的 $\Delta T$，再代入 $t_c=C/H$，左右的系数便相同。初值也要同时变化：$t=0$ 对应 $\tau =0$，而 $T=T_0$ 对应 $\theta =1$。最终得到 $$\frac{d\theta }{d\tau }=-\theta ,\theta (0)=1.$$ 这里消去的是参数在方程中的显式位置，物理信息仍保存在变量变换里。选择与模型平衡关系相符的尺度，是尺度分析中的常用做法。

曲线重合与有单位的预测

将通用方程乘以 $e^{\tau }$，有 $$\frac{d}{d\tau }(e^{\tau }\theta )=e^{\tau }({\theta }^{\prime }+\theta )=0.$$ 所以 $e^{\tau }\theta$ 为常数，由初值知常数是一，得到 $\theta =e^{-\tau }$。换回物理变量就是 $$T(t)=T_a+(T_0-T_a)e^{-t/t_c}.$$ 对上面的 A、B，在同一个实际时刻 $t=60\mathrm{s}$： $$T_A=20+60e^{-1}\approx 42.0728{}^{\circ }\mathrm{C},T_B=20+60e^{-1/3}\approx 62.9919{}^{\circ }\mathrm{C}.$$ 若比较 A 在六十秒与 B 在一百八十秒，两者的 $\tau$ 都是一，于是都得到 $42.0728{}^{\circ }\mathrm{C}$。图中的曲线重合，表示两种过程在所声明模型下具有相同的无量纲解，并不表示它们在同一实际时间具有相同温度。

A 的连续曲线与 B 的取样圆点重合。横轴的一单位分别对应六十秒和一百八十秒。

例如，要使剩余温差降到初始的百分之十，解的是 $e^{-\tau }=0.1$，所以 $\tau =\ln 10$。A 所需时间约 $138.16\mathrm{s}$，B 约 $414.47\mathrm{s}$。共同的无量纲答案只有一个，实际时间通过各自的 $t_c$ 恢复。

保留下来的无量纲参数

如果给物体以恒定热功率 $Q$ 持续加热，模型改为 $$C\frac{dT}{dt}=-H(T-T_a)+Q.$$ 沿用相同尺度后，方程为 $${\theta }^{\prime }=-\theta +q,q=\frac{Q}{H\Delta T},\theta (0)=1.$$ 分母 $H\Delta T$ 是初始温差对应的传热功率，故 $q$ 比较加热与散热的强弱。现在解是 $$\theta (\tau )=q+(1-q)e^{-\tau }.$$ 代入方程可核对导数和初值，长时间极限为 $q$。例如 $Q=300\mathrm{W}$、$H=10\mathrm{W}/\mathrm{K}$、$\Delta T=60\mathrm{K}$ 时，$q=1/2$，平衡温度为 $T_a+\Delta T/2=50{}^{\circ }\mathrm{C}$。把秒换成分钟不会改变 $q$；改变加热功率则会改变它。无量纲化后的参数刻画了不同实验仍可能具有的实质差异。

尺度选择与适用范围

若 $T_0=T_a$，前面的温差归一化涉及除以零。无加热时此时就是平衡解 $T=T_a$；若仍需描述扰动，可另取非零参考温差 $T_s$，写 $\theta =(T-T_a)/T_s$，其初值变成零。尺度必须非零，初值则不必是一。

参考时间也不唯一。若任取正时间 $t_s$，令 ${\tau }_s=t/t_s$，方程会成为 $d\theta /d{\tau }_s=-(t_{s}H/C)\theta$。选 $t_s=C/H$ 只是使系数变为一，从而突出共同解。对于有多个过程的方程，往往不可能把所有系数都同时变成一；剩余的比值用于比较各过程的相对强弱，有时还能提示摄动法中的小参数。

无量纲化没有检验模型的物理假设。若物体内部存在明显温差，或辐射、相变使传热关系偏离线性，上面的通用冷却曲线可能失效。实验数据在无量纲坐标下不重合，可以促使人检查尺度、参数估计或模型假设；仅凭少量曲线重合，也不能证明模型在所有条件下成立。

一个可自行核算的变式是：保持 A 的热容量不变，将 $H$ 加倍。新的 $t_c=30\mathrm{s}$，降至一半初始温差所需时间为 $30\ln 2\approx 20.79\mathrm{s}$。温差曲线在实际时间上加快，但在新 $\tau$ 坐标下仍是同一条 $e^{-\tau }$。