时间序列建模与滚动预测

时间序列预测根据按时间排列的既有观测，估计未来一个或多个时点的数值及其不确定性。在第 $T$ 时刻作出的 $h$ 步预测记为 ${\hat{y}}_{T+h\mid T}$；竖线右边的 $T$ 表示预测时最多能看到 $y_1,\dots ,y_T$。这一记法能直接暴露一个常见错误：若预测 $T+1$ 时使用了 $y_{T+2}$ 或依据它计算的特征，所谓“预测”其实借用了未来信息。

先建立可复查的基线

设逐日记录为 $10,12,11,14,13,15$。最简单的朴素预测把下一日预测为上一日观测，即 ${\hat{y}}_{t\mid t-1}=y_{t-1}$。如果分别在第三、第四、第五日结束时预测下一日，得到

预测时点 $T$	已知最后值 $y_T$	对 $T+1$ 的预测	真实值	绝对误差
3	11	11	14	3
4	14	14	13	1
5	13	13	15	2

这三个滚动测试点的平均绝对误差为 $(3+1+2)/3=2$。此数只说明在这三次预测上的表现，样本太少，不能据此宣称未来误差恒为二。图中每一行的训练段都止于预测时点，测试点在其右侧；下一次测试才把刚发生的观测纳入历史。

滚动预测原点：每次只用当时已经发生的数据。

有明确的周季节性时，还应比较季节性朴素预测 ${\hat{y}}_{T+h\mid T}=y_{T+h-m}$（右边的下标必须已经不超过 $T$；更远的预测要退回到最近一个已观测的同季节时点），其中 $m$ 是每季的观测数。复杂模型若连这些基线也不能稳定胜过，就没有仅凭训练拟合误差部署它的理由。

趋势、季节与随机波动

把序列画成时间图后，可用 $y_t=T_t+S_t+{\epsilon }_t$ 描述趋势 $T_t$、季节项 $S_t$ 和剩余变化 ${\epsilon }_t$；这是一种分解假设，不是观测自动告诉我们的三个真实机制。季节长度要结合日历和采样频率解释。若销量在节假日骤升、传感器更换、政策改变，旧的趋势或季节幅度可能不能平移到未来。对数或差分可以帮助处理某些尺度变化，但还原预测时必须恢复原单位。

一个可逐式计算的动态例子是均值为 $\mu$ 的一阶自回归模型 $$y_t-\mu =\varphi (y_{t-1}-\mu )+{\epsilon }_t,|\varphi |<1.$$ 假设 ${\epsilon }_t$ 是均值零、方差 ${\sigma }^2$、与过去不相关的扰动。给定时点 $T$ 的信息，未来扰动条件期望为零，于是 $${\hat{y}}_{T+1\mid T}=\mu +\varphi (y_T-\mu ).$$ 再把这一步代入下一步，得到 ${\hat{y}}_{T+2\mid T}=\mu +{\varphi }^2(y_T-\mu )$；继续递推便是 ${\hat{y}}_{T+h\mid T}=\mu +{\varphi }^h(y_T-\mu )$。若 $\mu =10,\varphi =1/2,y_T=14$，一、二步预测分别为十二和十一，逐渐回到长期均值十。

若再假定扰动相互独立，$h$ 步预测误差是 $\sum _{j=0}^{h-1}{\varphi }^j{\epsilon }_{T+h-j}$，交叉协方差为零，故误差方差 $$\mathrm{Var}(y_{T+h}-{\hat{y}}_{T+h\mid T})={\sigma }^2\sum _{j=0}^{h-1}{\varphi }^{2j}.$$ 上例两步误差方差为 $1.25{\sigma }^2$，大于一步的 ${\sigma }^2$。若误差并不独立、参数估计也不准，这个公式会低估或错估预测不确定性；具体区间要连同假设检验和回测覆盖率报告。

滚动回测与区间

先明确实际任务是“每周预测下一周”还是“一次预测未来三个月”，然后使回测的预测跨度 $h$ 与之相同。对多个预测原点 $T_1,\dots ,T_K$，每次只在 $1:T_k$ 上完成缺失值处理、参数拟合和模型选择，再预测后续 $h$ 期。所有模型用同一批原点比较，并把损失写成有单位的平均绝对误差、均方根误差，或与决策成本匹配的指标。图上遮住的未来值只能用于打分，不能用于调整那一折的模型。

预测区间说明随机结果可能落入的范围，它不同于参数置信区间。若声称百分之九十覆盖，需在真正未参与调参的滚动测试中检查约有多少真实值落入区间，并按一步、两步等跨度分别检查。残差长期同号、季节峰值被系统低估、预测区间在极端时段失效，都提示模型机制或误差分布需要重审。时间采样不规则或不同设备的数据混合时，先厘清时间戳、时区、缺测与记录频率；把缺测点简单补零可能制造假趋势。

参考资料与相关词条

• Hyndman、Athanasopoulos《Forecasting: Principles and Practice》：时间序列交叉验证。
• 同书：预测区间与多步不确定性。
• 相关：随机过程、线性模型、交叉验证与数据泄漏。