最小多项式

最小多项式（minimal polynomial）是使一个方阵或有限维线性算子代入后变为零的、次数最低的首一多项式。它记录算子所满足的最短多项式关系，比特征多项式更直接地反映重复作用中的冗余。

令 $A = (\begin{matrix} 3 & 1 \\ 0 & 3 \end{matrix}) = 3 I + N$ ，其中 $N \neq 0, N^{2} = 0$ 。于是 $(A - 3 I)^{2} = 0$ ，但 $A - 3 I \neq 0$ ；最短关系需要平方，最小多项式为 $m_{A} (t) = (t - 3)^{2}$ 。若改成 $3 I$ ，最小多项式就降为 $t - 3$ ，尽管二者的特征多项式相同。

存在性与整除性质

设 $A \in F^{n \times n}$ ， $n \geq 1$ 。矩阵空间维数为 $n^{2}$ ，因此 $I, A, \dots, A^{n^{2}}$ 线性相关，保证某个非零多项式满足 $p (A) = 0$ 。取其中次数最低并令首项系数为一，得到 $m_{A}$ 。

若任意 $p (A) = 0$ ，作多项式除法 $p = q m_{A} + r$ ，其中 $\deg r < \deg m_{A}$ 或 $r = 0$ 。代入得到 $r (A) = 0$ 。非零余式会违反最小次数的选择，故 $r = 0$ ，即 $p (A) = 0 ⟺ m_{A} ∣ p .$ 这也证明首一最小多项式唯一。由凯莱–哈密顿定理，特征多项式也使矩阵归零，故 $m_{A}$ 整除特征多项式，且次数至多 $n$ 。前面的存在性证明没有预先依赖这个定理。

根与特征向量

若 $A v = λ v, v \neq 0$ ，则 $p (A) v = p (λ) v$ ，所以 $m_{A} (λ) = 0$ 。反过来，若 $m_{A} = (t - λ) q$ 却有 $A - λ I$ 可逆，便可从 $(A - λ I) q (A) = 0$ 消去可逆因子，得到更低次数的归零多项式，矛盾。因此在数域内，最小多项式的根恰好是特征值。

可对角化判据。 $A$ 在 $F$ 上可对角化，当且仅当 $m_{A}$ 在 $F$ 上分解为互异的一次因子。正向：对角矩阵由各不同对角值对应的一次因子乘积归零。反向：设互异根为 $λ_{1}, \dots, λ_{s}$ ，令 $p_{j} (t) = \prod_{k \neq j} \frac{t - λ_{k}}{λ_{j} - λ_{k}} .$ 插值恒等式给出 $\sum p_{j} (t) = 1$ ；同时 $(t - λ_{j}) p_{j} (t)$ 是 $m_{A}$ 的常数倍，故 $p_{j} (A) v$ 位于第 $j$ 个特征空间。这样每个向量都分解为特征向量之和；不同特征值的特征空间之和是直和，因而可取特征向量基。

这里的“在 $F$ 上分裂”不能省略。例如实旋转矩阵的最小多项式 $t^{2} + 1$ 没有重根，却不能在实数域上对角化。

高次幂的实际化简

回到 $A = 3 I + N, N^{2} = 0$ 。二项式展开中二次及以上的 $N$ 项全部消失，故对整数 $k \geq 1$ ， $A^{k} = 3^{k} I + k 3^{k - 1} N .$ 取 $k = 4$ ，得到 $A^{4} = (\begin{matrix} 81 & 108 \\ 0 & 81 \end{matrix})$ 。这是最短关系把无限个幂压缩成 $I, N$ 两项的效果。

更一般地，把待计算多项式 $f$ 除以 $m_{A}$ ，只需计算低次余式 $r (A)$ 。作为变式，若 $B = diag (2, 2, - 1)$ ，则 $m_{B} = (t - 2) (t + 1) = t^{2} - t - 2$ ，因此 $B^{2} = B + 2 I$ ，继而 $B^{3} = 3 B + 2 I$ ；代入三个对角值分别得到八、八、负一，与直接立方相符。

参考文献

Sheldon Axler，Linear Algebra Done Right，第四版，§5B（最小多项式）、5D（对角化）；本文例子与图解独立构造。