柯朗—弗里德里希斯—列维条件

柯朗—弗里德里希斯—列维条件（Courant–Friedrichs–Lewy condition，简称CFL条件）比较微分方程的信息传播速度与离散格式在网格上传递信息的速度。对显式双曲问题格式，要在网格细化时得到正确解，数值依赖域必须能够覆盖相应的物理依赖域。由此导出的时间步长限制是必要条件；它是否也足以保证稳定，还取决于具体方程和格式。

考虑一维线性输运方程 $u_t+c{u}_x=0$，速度 $c>0$ 为常数。解沿特征线平移，即 $u(x,t)=u_0(x-ct)$。设空间步长为 $\Delta x$、时间步长为 $\Delta t$，无量纲Courant数为 $\nu =c\Delta t/\Delta x$。它表示一步内物理信号跨过多少个网格间距。

迎风格式的信息来源

在网格 $x_j=j\Delta x,t_n=n\Delta t$ 上，以 $U_j^n$ 近似真解。对正速度使用左侧差分，得到显式迎风格式 $$\frac{U_j^{n+1}-U_j^n}{\Delta t}+c\frac{U_j^n-U_{j-1}^n}{\Delta x}=0,U_j^{n+1}=(1-\nu )U_j^n+\nu U_{j-1}^n.$$ 一步只读取当前位置和左邻居；两步至多读取 $j,j-1,j-2$，归纳可知，经过 $n$ 步只可能使用初始网格点 $j-n,\dots ,j$ 的数据。数值信息最远每步向右传播一个网格间距。

真解在 $(x_j,t_n)$ 却读取初始位置 $x_j-c{t}_n=x_j-n\nu \Delta x$。要让它位于数值依赖范围 $[x_j-n\Delta x,x_j]$ 内，必须有 $$0\le \nu \le 1.$$ 对这里的正速度，左侧非负自动成立，所以常写为 $c\Delta t\le \Delta x$。

取空间、时间步长均为一、当前点横坐标四。物理传播脚点落在数值依赖范围内。

时间步过大时，真解需要的初始信息来自数值格式无法读取的位置。

这个必要性的含义可用两组初值说明。若在细化过程中物理脚点始终位于数值依赖域之外，就可选两组初值，使它们在数值依赖区间上完全相同，在物理脚点附近却不同。格式因读取相同数据给出相同输出，两个真解在目标点却不同，因此不可能对两组初值都收敛到正确解。这是依赖域条件的理由，不是把某张图上看见的一个脚点当作全体格式的稳定性证明。

对迎风格式成立的稳定性证明

当 $0\le \nu \le 1$ 时，更新是两个旧值的凸组合，所以 $$\underset{j}{min}{U}_j^n\le U_j^{n+1}\le \underset{j}{max}{U}_j^n.$$ 对两个数值解之差 $E_j^n$ 使用同一更新式，三角不等式给出 $$|E_j^{n+1}|\le (1-\nu )|E_j^n|+\nu |E_{j-1}^n|\le \underset{k}{max}|E_k^n|.$$ 对 $j$ 取最大值，再逐步迭代，得到 $\Vert E^n{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le \Vert E^0{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$。这证明在无限网格或周期边界下，初始扰动的最大幅度不增长；一般边界还要正确控制边界输入。

取傅里叶模式 $U_j^n=G^n{e}^{ij\theta }$，可求得放大因子 $$G(\theta )=1-\nu +\nu e^{-i\theta },|G(\theta ){|}^2=1-4\nu (1-\nu ){\sin }^2(\theta /2).$$ 所以在本格式中，$0\le \nu \le 1$ 也恰好保证所有模式不放大。若 $\nu =1.25$，交替正负模式 $\theta =\pi$ 每步乘 $1-2\nu =-1.5$，幅度逐步乘 $1.5$，直接显示失稳。$\nu =1$ 时更新为 $U_j^{n+1}=U_{j-1}^n$，恰好每步平移一格。

六个网格值的手算与程序

在周期网格上取初值 $(0,1,2,1,0,0)$，末端左邻居按周期回到数组末项。取 $\nu =1/2$，第一步为 $$(0,1/2,3/2,3/2,1/2,0),$$ 第二步为 $(0,1/4,1,3/2,1,1/4)$。每步数值和仍为四，最大值未超过初始的二。和守恒来自将更新式对全部周期索引求和：两个旧值之和都等于同一个旧数组总和。

下面输入周期网格值、Courant数和步数，返回新的数组；不改写输入，只接受有限实数值以及稳定范围内的 $\nu$。它求解的是已说明的正速度迎风更新，不是通用偏微分方程求解器。

Python 3

from math import isfinite

def periodic_upwind(values, nu, steps):
    state = [float(x) for x in values]
    nu = float(nu)
    if len(state) < 2 or not all(isfinite(x) for x in state):
        raise ValueError("need at least two finite grid values")
    if not isfinite(nu) or not 0 <= nu <= 1:
        raise ValueError("Courant number outside [0,1]")
    if type(steps) is not int or steps < 0:
        raise ValueError("steps must be a nonnegative integer")
    for _ in range(steps):
        old = state
        state = [(1 - nu) * old[j] + nu * old[j - 1]
                 for j in range(len(old))]
    return state

initial = [0, 1, 2, 1, 0, 0]
assert periodic_upwind(initial, 0.5, 1) == [0, 0.5, 1.5, 1.5, 0.5, 0]
assert periodic_upwind(initial, 0.5, 2) == [0, 0.25, 1, 1.5, 1, 0.25]
assert periodic_upwind(initial, 1, 1) == [0, 0, 1, 2, 1, 0]
assert periodic_upwind(initial, 0, 3) == initial
assert initial == [0, 1, 2, 1, 0, 0]
print(periodic_upwind(initial, 0.5, 2))

每步对 $m$ 个网格值各计算一次凸组合，$N$ 步时间为 $O(mN)$，仅保存新旧数组，空间为 $O(m)$。若 $c<0$，应改用右侧邻居；只把负速度代进上述左迎风式会使权重超出凸组合范围。

CFL条件不等于通用稳定性条件

变式。 将空间差分改为中心差分，得到前向时间中心空间格式 $$U_j^{n+1}=U_j^n-\frac{\nu }{2}(U_{j+1}^n-U_{j-1}^n).$$ 它的数值依赖范围每步向两侧各扩一格，因此同样可以满足 $|\nu |\le 1$ 的几何条件。取保持固定非零 $\nu$ 的双曲细化路径，其放大因子为 $G=1-i\nu \sin \theta$；选择 $\sin \theta =1$ 的网格模式，单步幅度乘 $\sqrt{1+{\nu }^2}>1$。在固定正时间 $T$ 内，步数 $n=T/\Delta t$ 随细化趋于无穷，累计放大 $(1+{\nu }^2{)}^{n/2}$ 无界，所以沿这条满足几何CFL的细化路径仍不稳定。必要的依赖域覆盖没有保证该格式控制扰动。这里用到了固定非零Courant数；仅有某一步的放大大于一并不足以排除所有细化路径，例如让 $\Delta t/\Delta x^2$ 有界时，累计放大可有固定时间上的有界增长。

扩散方程也有显式时间步限制，典型尺度为 $\Delta t=O(\Delta x^2)$，其传播机制和放大因子与输运不同；不能只把波速公式机械换一个符号就涵盖全部方程。