正规矩阵

正规矩阵（normal matrix）是与其共轭转置交换的复方阵：$A^{\ast }A=A{A}^{\ast }$，其中星号表示先转置再复共轭。实矩阵也按这个定义判断，此时星号就是转置。正规性允许把算子分解成互相正交的特征方向，但不要求特征值为实数。

例如实平面旋转矩阵 $R=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$ 满足 $R^{\ast }R=R{R}^{\ast }=I$，是正规矩阵；它的复特征值却是 $i,-i$，不能在实数域上对角化。

范数判据

使用内积 $⟨x,y⟩=x^{\ast }y$。因为 $$\Vert Ax{\Vert }_2^2=x^{\ast }{A}^{\ast }Ax,\Vert A^{\ast }x{\Vert }_2^2=x^{\ast }A{A}^{\ast }x,$$ 正规矩阵对所有 $x$ 满足 $\Vert Ax{\Vert }_2=\Vert A^{\ast }x{\Vert }_2$。反过来也成立：令 Hermitian 矩阵 $H=A^{\ast }A-A{A}^{\ast }$，若 $x^{\ast }Hx=0$ 对所有 $x$ 成立，依次取标准基向量、两基向量之和、一个基向量加另一个的 $i$ 倍，就得到对角元、非对角元实部和虚部全为零，故 $H=0$。

取 $N=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$，则 $$N^{\ast }N=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right),N{N}^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right).$$ 二者不等。也可只用 $x=e_1$ 看出 $\Vert Nx\Vert =0$、$\Vert N^{\ast }x\Vert =1$，迅速否定正规性。

酉对角化

复谱定理。 复方阵正规，当且仅当存在酉矩阵 $U$ 与对角矩阵 $D$ 使 $A=UD{U}^{\ast }$。

可由舒尔分解给出简洁论证。先写 $A=UT{U}^{\ast }$，$T$ 为上三角矩阵。正规性在酉相似下保持。比较 $T^{\ast }T$ 与 $T{T}^{\ast }$ 的左上角：前者为 $|t_{11}{|}^2$，后者为 $|t_{11}{|}^2+\sum _{j>1}|t_{1j}{|}^2$。相等迫使首行非对角元全为零，于是分离出一阶块；在余下正规上三角块中重复，最终 $T$ 为对角。反向则由 $D^{\ast }D=D{D}^{\ast }$ 直接成立。

所以实对称、Hermitian 和酉矩阵都属于正规矩阵，但这些子类彼此不同。特别地，“可对角化”弱于“可酉对角化”：$\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$ 有不同特征值，故可对角化，却由前述首行比较可知不正规。

重复作用的大小

设 $A=U\mathrm{diag}({\lambda }_i)U^{\ast }$，则酉变换保持欧氏范数，因而 $$\Vert A^k{\Vert }_2=\underset{i}{max}|{\lambda }_i{|}^k(k\ge 1).$$ 证明是在特征坐标中计算 $\sum |{\lambda }_i{|}^{2k}|y_i{|}^2$：它不超过最大系数乘 $\Vert y{\Vert }^2$，并在相应单位基方向达到。比如 $A=\mathrm{diag}(1/2,i/3)$ 时 $\Vert A^k{\Vert }_2=2^{-k}$，所有向量都逐步缩小。

非正规矩阵不具这种直接控制。$B=\left(\begin{array}{cc}1/2& 4\\ 0& 1/2\end{array}\right)$ 的特征值都为 $1/2$，但 $B{e}_2=(4,1/2)$ 的长度大于四，先发生明显放大；其幂中还带有 $k(1/2{)}^{k-1}$ 的项。正规性在这里排除了由非正交方向耦合造成的暂态放大。

变式 $C=\mathrm{diag}(2,2i)$ 正规但不酉，因为 $C^{\ast }C=4I$；也不 Hermitian，因为第二个对角元不是实数。正规只要求两种乘法顺序相等，不要求它们等于单位矩阵。

参考文献

Sheldon Axler，Linear Algebra Done Right，第四版，§7A—7B（正规算子与复谱定理）；本文例子与图解独立构造。