比值判别法

对非零正项级数 $\sum a_n$，若相邻项比值有极限 $L=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_{n+1}/a_n$，则 $L<1$ 时级数收敛，$L>1$ 时发散。若 $L=1$，这个方法没有结论。它特别适合阶乘与指数相乘的项。

与等比级数比较

若 $L<1$，选 $q$ 使 $L<q<1$。从某项起 $a_{n+1}\le q{a}_n$，于是 $a_{N+k}\le a_N{q}^k$；右侧的等比级数收敛，故原级数收敛。若 $L>1$，从某项起 $a_{n+1}>a_n$，项不趋零，级数不可能收敛。

例：$a_n=n/2^n$ 时， $$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n+1}{2n}⟶\frac{1}{2},$$ 故 $\sum n/2^n$ 收敛。$a_n=n!/3^n$ 时比值为 $(n+1)/3\to \mathrm{\infty }$，项终将增大，故发散。

极限等于一

$\sum 1/n$ 发散，$\sum 1/n^2$ 收敛，但两者的相邻项比值都趋于 1。因此此时须改用比较、积分等方法。也可以不用假定比值极限存在，直接考察 $lim\; sup{a}_{n+1}/a_n<1$ 的充分条件；对初学者，先检查极限存在与否。

参考资料

• MIT 18.100B Real Analysis，级数判别法讲义。
• MIT 18.100A Fall 2020，实分析讲义。
• 继续阅读：根值判别法、正项级数比较判别法、无穷级数。