沃德罗普均衡

沃德罗普均衡（Wardrop equilibrium），也称用户均衡，是连续交通流的路径选择均衡：对于同一起点和终点，所有实际使用的路径都具有最小出行成本，未使用路径的成本不能更低。模型把单个出行者的流量视为相对于总体可忽略，因此个人改变路线时，把当前拥堵水平看作不变。

这一条件描述分散选择能否继续改善个人成本。使全体出行成本总和最小的流量分配，则称为系统最优；两者一般不同。沃德罗普的路径条件及其与非原子拥堵博弈的关系，是自利路由理论的基础。

两条路的流量分配

考虑同一起终点之间的两条并行道路，需求为六个流量单位。以下流量和出行时间均按固定参考单位表示，数值本身无量纲；总成本是流量乘时间的和，换回单位后表示总出行时间的发生率。设 $$x_1+x_2=6,x_1,x_2\ge 0,t_1(x_1)=x_1,t_2(x_2)=4.$$ 第一条路随使用流量增加而变慢，第二条的出行时间在该理想模型中恒为四。

如果第一条路有三单位流量，它的时间为三，比第二条快，第二条上的用户有转入动机；如果第一条有五单位，它的时间为五，用户又有转向第二条的动机。两路都使用时，个人没有改善机会要求两者时间相同：$x_1=4$，因此 $x_2=2$。两路出行时间都是四。

还要排除只使用一条路的可能。若全走第一条，时间六，比空着的第二条的时间四更大；若全走第二条，第一条在零流量时的时间零更小。故主例的用户均衡唯一，为 $(4,2)$，平均出行时间为四，总成本为 $4\times 4+2\times 4=24$。

UE 表示用户均衡，SO 表示系统最优，数值为各路流量。道路的时间函数保持不变。

路径条件的准确表达

设同一起终点共有有限条路径，流量为 $f_p\ge 0$，需求固定为 $D>0$，且 $\sum _p{f}_p=D$。在当前流量 f 下，路径成本记为 $c_p(f)$。用户均衡条件为 $$f_p>0⟹c_p(f)\le c_q(f)\text{对每条可选路径 }q.$$ 因此使用中的路径成本相等，但未使用路径可以更贵。不能要求全部路径成本都相等，也不能把“大家已选定路线”当作均衡的定义。

非原子假设在这里有具体作用：个人的转移不改变其他用户看到的流量成本。若一个车队控制相当大的流量，它换路会改变拥堵，优化时就要计算自身引起的成本变化；那是有原子参与者的另一种模型。

势函数与均衡

对并行道路，若每条路的时间 $t_i(x_i)$ 连续且非递减，定义势函数 $$\Phi (x)=\sum _i{\int }_0^{x_i}{t}_i(s)ds.$$ 它对各流量的偏导数恰好为当前路段时间 $t_i(x_i)$。由于时间非递减，每个积分项为凸函数；固定总需求的非负流量集合是凸集。

均衡与在该集合上最小化势函数等价。先从最小点看：若正流量道路 i 的时间比道路 j 大，把足够小的流量从 i 转到 j，目标的一阶变化为 $t_j-t_i<0$，与最小性矛盾。反过来，若所有正流量道路的时间都是最小值 $\lambda$，则任意其他可行流量 y 满足 $$\mathrm{\nabla }\Phi (x{)}^{𝖳}(y-x)=\sum _i{t}_i(x_i)y_i-\lambda D\ge 0.$$ 这里使用了 $\sum _i{t}_i(x_i)x_i=\lambda D$，以及所有道路成本不小于 $\lambda$。由可微凸函数的一阶不等式，$\Phi (y)\ge \Phi (x)+\mathrm{\nabla }\Phi (x{)}^{𝖳}(y-x)\ge \Phi (x)$，所以 x 是全局最小点。证明覆盖了未使用的道路，而非只在内部联立等时方程。

主例中令 $x=x_1$、$x_2=6-x$，势函数化为 $$\Phi (x)=\frac{x^2}{2}+4(6-x)=\frac{1}{2}(x-4{)}^2+16,0\le x\le 6.$$ 最小点是四，与前面的用户均衡相同。势函数是求均衡的数学工具，其数值并不是所有用户的实际时间总和。

系统最优与拥堵外部成本

全体成本为 $$C(x)=x{t}_1(x)+(6-x)t_2(6-x)=x^2+4(6-x)=(x-2{)}^2+20.$$ 所以系统最优为 $(x_1,x_2)=(2,4)$，总成本二十，平均时间 $20/6=10/3$。这时两路个人时间分别为二和四；第二条路上的个人仍想转入第一条，因此系统最优本身不是原来无收费规则下的用户均衡。

均衡最小化势函数，系统最优最小化总成本。两个纵坐标值分别属于不同函数，不能混作同一个总时间。

差别来自边际成本。一般道路的总时间为 $xt(x)$；若 t 在考察的流量处可微，增加一点流量带来的导数为 $$\frac{d}{dx}[xt(x)]=t(x)+x{t}^{\prime }(x).$$ 其中 $t(x)$ 是新增用户自身的时间，$x{t}^{\prime }(x)$ 是其对已有流量造成的额外时间。主例上路的边际成本为 $2x$，与下路的四相等时得到最优流量二。

若把收费按时间价值换算成相同成本单位，可在上路加入规则 ${\tau }_1(x)=x{t_1}^{\prime }(x)=x$，下路收费为零。用户比较的广义成本变为上路 $2x$、下路四，于是均衡变成 $(2,4)$。在这一理论模型中，收费是转移支付，不计入原先物理出行时间 C；实际收费还涉及时间价值异质性、执行成本和分配影响，不能只凭这个算例确定政策。

主例的均衡总成本与最优成本之比为 $24/20=6/5$。这是这一需求和函数下的效率比值，不是任意交通网络的普遍损失率。

需求变化与适用边界

将需求改为 $D=3$，两路都使用的等时解要求第一路流量四，已经超过需求，因而不可行。此时全部三单位走第一路，时间三，小于未使用第二路的时间四，故用户均衡为 $(3,0)$。系统最优仍由 $\underset{0\le x\le 3}{min}(x^2+4(3-x))$ 得到 $(2,1)$。这个变式说明边界条件不能被等时方程取代。

对一般网络，路径成本通常由经过的各边时间相加，路径之间可能共享边，不能独立给每条路径任意的时间函数。本文的势函数证明针对可分离成本的并行道路；更一般网络的刻画需要同时保留路径与边流量关系。多种用户的时间价值、非连续拥堵、容量限制、随机感知或有限车队，也须另加模型条件。