洛伦兹力

一颗带电粒子穿过磁场时，轨迹可能弯曲，速度大小却保持不变。把电场和磁场的作用合写，电荷量为 $q$、速度为 $\overrightarrow{v}$ 的粒子所受洛伦兹力是 $$\overrightarrow{F}=q(\overrightarrow{E}+\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}).$$ 这里 $\overrightarrow{E}$ 是电场强度，$\overrightarrow{B}$ 是磁感应强度；本篇重点看只有均匀磁场、$\overrightarrow{E}=0$ 的情形。磁力大小 $F=|q|vB\sin \theta$，其中 $\theta$ 是速度与磁场的夹角。正电荷方向按右手法则，负电荷反向；当速度平行磁场时，磁力为零。

磁场改变方向，不直接改变速率

叉乘 $\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$ 垂直于 $\overrightarrow{v}$，磁力的瞬时功率 ${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{B}}\cdot \overrightarrow{v}=0$。因此单靠静态磁场不会改变粒子的动能；它能把速度转向。若速度与均匀磁场垂直，磁力始终指向轨迹中心，由圆周运动与向心力的关系得 $$|q|vB=\frac{m{v}^2}{r}⟹r=\frac{mv}{|q|B},T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi m}{|q|B}.$$ 式中的 $m$ 是粒子质量，$r$ 是半径，$T$ 是绕行一周的时间；在非相对论近似下，固定 $m,q,B$ 时，速率越大半径越大，周期却相同。

速度沿切线、磁力指向圆心；图示为正电荷，负电荷在相同初速度下转弯方向相反。

算出一条质子轨道

取质子 $m=1.67\times 10^{-27}\mathrm{k}\mathrm{g}$、$q=1.602\times 10^{-19}\mathrm{C}$，以 $v=1.0\times 10^6\mathrm{m}/\mathrm{s}$ 垂直进入 $B=0.50\mathrm{T}$ 的均匀磁场。磁力大小为 $8.01\times 10^{-14}\mathrm{N}$；半径 $r\approx 0.0208\mathrm{m}=2.08\mathrm{c}\mathrm{m}$，周期 $T\approx 1.31\times 10^{-7}\mathrm{s}$。若速度既有垂直分量又有平行分量，仅 $v_{\perp }$ 进入半径公式；平行分量沿磁场方向匀速前进，轨迹成为螺旋线。

这里忽略碰撞、辐射损失和相对论修正；在速度接近光速或高能加速器的情形，应改用相对论动量。若同时有电场，电场力可能做功，速率也会变，不能套用上面的匀速圆周轨道。

参考资料

• OpenStax《University Physics》11.3，带电粒子的圆轨道与螺旋轨道。
• OpenStax《University Physics》11.2，磁场力的方向和大小。