洛吉斯蒂映射

洛吉斯蒂映射（logistic map）是离散时间的非线性更新规则

$x_{n + 1} = F_{ρ} (x_{n}) = ρ x_{n} (1 - x_{n}) .$

$n$ 表示代数或更新次数， $x_{n}$ 是无量纲状态， $ρ$ 是控制更新强度的参数。最常研究 $0 \leq x_{0} \leq 1$ 、 $0 \leq ρ \leq 4$ 。在这个简单公式里，参数改变可以使长期行为从静止不动变成两点交替、更多点循环乃至混沌。它与连续时间的洛吉斯蒂模型有关，但不是把后者的时间直接改成整数就得到的同一方程。

一次完整的更新：这一代决定下一代

一种教学解释是把 $x_{n} = N_{n} / M$ 作为归一化数量。假定低密度时每个个体对下一代的贡献为 $ρ$ ，密度增加又把有效贡献乘以 $1 - N_{n} / M$ ，便得到

$N_{n + 1} = ρ N_{n} (1 - N_{n} / M) .$

这里 $M$ 是抑制因子降到零的尺度，不是必然等于长期平衡数量。该假设描述逐代替换，不是“先保留本代，再添加增长量”；后者会多出一个 $N_{n}$ 项。它也只是简化机制，在接近 $N = M$ 时预测下一代骤减，应用到真实种群前需要证据支持。

取新的合成例子 $ρ = 2.6, x_{0} = 0.12$ ，第一步是

$x_{1} = 2.6 \times 0.12 \times 0.88 = 0.27456.$

继续代入得到 $x_{2} \approx 0.517860$ 、 $x_{3} \approx 0.649171$ 、 $x_{4} \approx 0.592145$ 。每一步只需要当前状态，但平方项使“当前值增加一点，下一步增加多少”随位置而变。

为什么参数通常限制在零到四

对 $0 \leq x \leq 1$ ，有

$x (1 - x) = \frac{1}{4} - (x - \frac{1}{2})^{2}, 0 \leq x (1 - x) \leq \frac{1}{4} .$

所以 $0 \leq F_{ρ} (x) \leq ρ / 4$ 。当 $0 \leq ρ \leq 4$ 时，下一步仍在 $[0, 1]$ 内；归纳可知所有后续状态都留在该区间。这叫区间的正向不变性。

若 $ρ > 4$ ，从 $x_{0} = 1 / 2$ 出发就有 $x_{1} = ρ / 4 > 1$ ，再下一步成为负数。区间不再对所有初值保持，原来的非负数量解释会失效。限制参数是在保护模型规定的状态空间，而不只是为了把图画得整齐。

不动点以及局部稳定的推导

令 $x = ρ x (1 - x)$ 。对于 $ρ > 0$ ，移项并提取因子得

$x (ρ - 1 - ρ x) = 0.$

于是 $x_{*} = 0$ ，以及 $x_{*} = 1 - 1 / ρ$ 。第二个点在 $ρ > 1$ 时才是区间内的正平衡； $ρ = 1$ 时两者重合； $ρ = 0$ 时所有状态一步映到零，应直接处理。

映射导数为 ${F_{ρ}}^{'} (x) = ρ (1 - 2 x)$ 。在零处它等于 $ρ$ ，在正平衡处等于 $2 - ρ$ 。离散不动点的局部吸引判据是导数绝对值小于一，所以零在 $0 < ρ < 1$ 时渐近稳定，正平衡在 $1 < ρ < 3$ 时渐近稳定。对 $ρ > 3$ ，正平衡不稳定。Oliver，§§3、6

这个判据来自误差的展开。对正平衡写 $x_{n} = x_{*} + e_{n}$ ，本例的二次式可以精确化简为

$e_{n + 1} = (2 - ρ) e_{n} - ρ e_{n}^{2} .$

当 $| 2 - ρ | < 1$ ，选足够小的 $δ$ 使 $q = | 2 - ρ | + ρ δ < 1$ 。只要 $| e_{n} | < δ$ ，就有 $| e_{n + 1} | \leq q | e_{n} |$ 。误差不仅缩小，而且仍留在所选邻域，反复应用便趋于零。

在 $ρ = 2.6$ 时， $x_{*} = 8 / 13 \approx 0.615385$ ，局部乘数为 −0.6，因此小误差交替衰减。图中竖线读取 $F (x_{n})$ ，横线把读到的值搬到对角线 $y = x$ ，从而作为下一次输入。交点附近的来回穿越与负乘数对应。

参数二点六的抛物线与对角线相交，从零点一二开始的蛛网轨迹最终在十三分之八附近收缩交替。 — 蛛网的纵横两步分别是“计算下一项”和“把下一项作为输入”；固定点是两条曲线的交点。

边界处导数等于一，仍要看原式

在 $ρ = 1$ 时，规则为 $x_{n + 1} = x_{n} - x_{n}^{2}$ 。对 $0 < x_{n} < 1$ ，下一项仍非负且更小，因此序列有极限 $L \geq 0$ 。连续性给出 $L = L - L^{2}$ ，只能 $L = 0$ 。误差始终不超过初值，故零相对于 $[0, 1]$ 仍渐近稳定，虽然导数检验没有直接作出判断。

在 $ρ = 3$ 的正平衡 $2 / 3$ 处，导数为 −1。连续迭代两次的偏差却是

$e_{n + 2} = e_{n} - 18 e_{n}^{3} - 27 e_{n}^{4} = e_{n} (1 - 18 e_{n}^{2} - 27 e_{n}^{3}) .$

当非零 $e_{n}$ 足够小时，括号在 0 与 1 之间；偶数步的偏差保持符号并缩小，其极限只能为零，奇数步也由连续性趋零。第一步是连续映射，配合这个两步估计可证明局部稳定。因此临界点本身仍局部渐近稳定，只是不能再用严格小于一的线性乘数给出衰减结论。

这两个边界例子也提醒读者：不能把“充分判据没有通过”直接写成“已经不稳定”。

两代以后回来：二周期怎样算出

把参数改成 $ρ = 3.2$ 后，正平衡的乘数为 −1.2，小扰动被交替放大。然而轨迹可以被一对互相映到对方的点吸引。若这两点为 $a \neq b$ ，需要 $F (a) = b, F (b) = a$ ，即 $F (F (x)) = x$ ，同时排除已经满足 $F (x) = x$ 的点。

展开并因式分解得到

$F_{ρ} (F_{ρ} (x)) - x = - x (ρ x - ρ + 1) (ρ^{2} x^{2} - ρ (ρ + 1) x + ρ + 1) .$

前两个因子对应不动点，后面的二次因子给出

$a, b = \frac{ρ + 1 \mp \sqrt{(ρ - 3) (ρ + 1)}}{2 ρ} .$

当 $ρ > 3$ 时，它们是两个不同实数。在 3.2 的例子中， $a \approx 0.51304451$ 、 $b \approx 0.79945549$ ；直接更新会把两者互换。

周期稳定要看两步的误差乘数。链式法则给出

$(F_{ρ}^{2})^{'} (a) = {F_{ρ}}^{'} (b) {F_{ρ}}^{'} (a) = ρ^{2} (1 - 2 a) (1 - 2 b) .$

这里 $F^{2}$ 表示复合两次，不是函数值平方。由二次方程的根与系数关系， $a + b = (ρ + 1) / ρ$ ， $a b = (ρ + 1) / ρ^{2}$ ，所以乘数化简为

$ρ^{2} {1 - 2 (a + b) + 4 a b} = - ρ^{2} + 2 ρ + 4.$

要求其绝对值小于一，并结合 $ρ > 3$ ，得到

$3 < ρ < 1 + \sqrt{6} \approx 3.44949.$

在 3.2 时乘数为 0.16，每经过两步，小扰动约缩为原来的 16%。下图保留了最开始的暂态，所以可以看见轨迹如何靠近两条交替的水平，而不只是直接画出最终两个点。

从零点一二出发，参数二点六的序列趋向一个固定水平，参数三点二的序列趋向零点五一三零四与零点七九九四六两个交替水平。 — 两周期的稳定性属于两步复合；单步可能放大某一方向的扰动，两步合起来仍可缩小。

分岔图显示什么，又没有证明什么

当 $ρ$ 穿过 3，稳定固定点失去稳定，并出现稳定二周期；二周期随后也会失稳。这种长期结构随参数改变的现象称为分岔。继续变化还会出现四周期、八周期等，也有更复杂的行为以及重新出现的周期窗口。

下图是一个可复算的数值概览：参数从 2.8 到 4，取 401 个等距值；每次从 $x_{0} = 0.12$ 独立开始，先迭代 1500 次，再画后续 80 个值。横轴是参数，不是时间；同一竖列的点才是固定参数下的长期采样。蓝色虚线另画正不动点公式，即使它已经不稳定也仍存在，只是一般迭代不会被它吸引。

横轴参数二点八到四，纵轴保留的迭代值；一支分成二支再分成更多支，中间有周期窗口，虚线是已经失稳但仍存在的不动点。 — 图由明确的迭代与暂态丢弃规则生成。密集点带是有限数值采样，不是对全部初值或全部参数的证明。

临界附近衰减可能很慢，丢弃有限暂态不能保证已经准确到达吸引集合；有限精度也会影响长期迭代。二周期的存在和稳定区间已经由上面的代数推导验证，图负责补充参数变化的整体位置感。

“混沌”也不等于所有初值都随意乱动。在 $ρ = 4$ 时，初值 $1 / 2$ 恰好依次变成 1、0、0，另有固定点与周期点。对典型轨迹讨论敏感依赖，需要区分这些特殊初值。迭代没有随机输入，却可能把初值的微小误差迅速放大；这一事实说明预测有困难，不表示模型自动包含了随机机制。

与连续增长方程的准确联系

连续无量纲方程 $x^{'} = x (1 - x)$ 的正解趋向 1，没有上述倍周期路线。用欧拉法取步长 $h > 0$ ，得到 $x_{n + 1} = (1 + h) x_{n} - h x_{n}^{2}$ 。令 $y_{n} = h x_{n} / (1 + h)$ ，便变成

$y_{n + 1} = (1 + h) y_{n} (1 - y_{n}) .$

这个变量变换说明欧拉更新与洛吉斯蒂映射在代数上相联系，但参数 $ρ = 1 + h$ 的增大对应数值步长变大。若原问题是计算连续方程，步长造成的倍周期不是原方程新发现的生物机制；若原问题本来就是逐代更新，则应按离散机制解释参数。

历史与参考资料

Robert M. May 在 1976 年发表于 Nature 的综述强调，简单、确定的一阶差分方程也能出现稳定点、周期分岔与复杂波动。这项工作使洛吉斯蒂映射成为跨学科讨论非线性动力学的重要例子。May：Simple mathematical models with very complicated dynamics

Marcel Oliver，Difference Equations，§§3–6。局部稳定、周期乘数、洛吉斯蒂映射与分岔。
MIT 12.820，Chapter 2：From laminar to turbulent flows。以映射说明周期倍增、复杂动力学与数值观察。
Robert M. May，Simple mathematical models with very complicated dynamics，Nature 261，459–467，1976。
相关：差分方程模型、平衡点与稳定性、洛吉斯蒂模型、微分方程数值解、随机过程。