流体静力学与伯努利方程

流体静力学研究不流动流体中的压强分布；伯努利方程在适用条件下把流动中的压强、速度与位置高度联系起来。二者共同的起点是力与能量守恒，但“水位高五米，所以出口速度恒为某值”只有在边界压强、流量连续与损失条件说清后才可成立。

静水压强沿深度增加

取水面以下深度 $h$ 向下为正，液体密度 $ρ$ 近似恒定。截面积 $A$ 、厚度 $d h$ 的薄水层静止时，底面向上的压强力 $[p (h) + d p] A$ ，顶面向下的力 $p (h) A$ ，重力向下 $ρ g A d h$ ；平衡要求 $d p = ρ g d h$ 。积分并以水面压强 $p_{0}$ 作边界，得到 $p (h) = p_{0} + ρ g h .$ 这是绝对压强；相对于水面大气压的表压是 $ρ g h$ 。例如 $ρ = 1000 k g / m^{3}$ 、 $g = 9.8 m / s^{2}$ 、深度 5 m，表压为 $49,000 P a = 49 k P a$ 。若密度随深度或温度显著变化，应积分 $d p = ρ (h) g d h$ ，不能套一个常数密度到底。

一个水箱的出流速度

水箱自由液面比小孔高 $H = 5 m$ 。假设稳态、不可压缩，水面面积远大于孔面积因而液面速度近似 0；自由液面和出口都与大气相通，压力相同；暂不计黏性及局部损失。取竖直坐标 $z$ 向上，沿同一流线的伯努利式为 $\frac{p}{ρ g} + \frac{v^{2}}{2 g} + z = c o n s t a n t .$ 第一项是压力水头，第二项速度水头，第三项位置水头，单位都是米。两端压力项相消，取 $z_{1} - z_{2} = H$ 与 $v_{1} \approx 0$ ，得 $v_{2} = \sqrt{2 g H} = \sqrt{98} \approx 9.90 m / s$ 。若孔面积是 $A_{2}$ ，理想体积流量 $Q = A_{2} v_{2}$ ；面积没有给出时，只能算速度，不能声称已算出每秒出水量。

自由液面高于出口五米，水面速度近似零且两端均为大气压，位置水头转为出口速度水头，同时标示管路损失会减少可用水头 — 同一高度差在理想流动与有损失流动下给出不同的出口速度。

现实中孔口收缩、入口、弯头和管壁摩擦会耗散机械能。若从液面到出口的总水头损失是 $h_{L} = 1 m$ ，在其余假设不变时，能量式为 $H = v_{2}^{2} / (2 g) + h_{L}$ ，所以 $v_{2} = \sqrt{2 g (H - h_{L})} = \sqrt{78.4} \approx 8.85 m / s$ 。这里把 $h_{L}$ 当作已由实验或管路模型给定的值；通常它随流速变化，真正求流量时应把损失公式和连续方程联立，而不是先任意猜一个米数就当作预测结果。

流量连续与能量收支

对稳态不可压缩的一进一出管段，质量守恒给出 $A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2} = Q$ 。截面缩小时平均速度升高；在同高度、无额外做功与损失的适用条件下，伯努利式说明压强相应降低。但从“速度高处压强低”不能反推所有流动的因果：若有泵加能、节流阀、显著高度变化或外部压力边界变化，必须把这些项列入控制体能量收支。两个截面间常写 $\frac{p_{1}}{ρ g} + \frac{v_{1}^{2}}{2 g} + z_{1} + h_{p u m p} = \frac{p_{2}}{ρ g} + \frac{v_{2}^{2}}{2 g} + z_{2} + h_{L},$ 其中泵水头 $h_{p u m p}$ 与损失水头 $h_{L}$ 也用米量度。这个一维平均流速式是工程模型；若速度分布很不均匀，可能还需动能修正系数。跨不同流线、强旋涡、可压缩气流或非稳态过程不能直接照搬理想流线方程。

建模时的边界检查

水箱放水一段时间后 $H$ 会下降，严格来说不再是固定水头稳态；若液面面积 $A_{T}$ 已知，可由体积守恒建立 $A_{T} d H / d t = - Q (H)$ ，再把孔口流量模型代入积分或数值求解。对洪水或明渠则还需水位—流量关系和上下游边界，不能把狭窄管内伯努利式当作整段河流模型。每个假设都应与题目给出的尺寸、流速、流态和观测误差核对。

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