测地距离

测地距离（geodesic distance）是在指定空间内，连接两点的允许路径长度的下确界。它衡量沿空间内部行走所需的最短长度，而不一定等于两点在外部空间中的直线距离。这里用“下确界”是有意的：有些路径的长度可以无限接近一个数，却没有任何允许路径真正达到它。

在球面上，两点间的直线段通常穿过球体内部，不能作为沿球面的路线。若球半径为三，两点所对的圆心角为120°，沿大圆的短弧长为 $2 π$ ，两点间的弦长却是 $3 \sqrt{3}$ 。下文从路径长度出发，证明短弧确实最短，再给出距离不被任何路径达到的例子。

路径长度与允许的行走范围

先设 $M \subset ℝ^{m}$ ，使用欧氏长度。允许路径是连续的分段 $C^{1}$ 曲线 $γ : [a, b] \to M$ ，端点满足 $γ (a) = p$ 、 $γ (b) = q$ 。分段 $C^{1}$ 指存在有限分割，使曲线在各段连续可微；允许有限个转角。其长度为 $L (γ) = \int_{a}^{b} ‖ γ^{'} (t) ‖_{2} d t,$ 转角处按各光滑段相加。更换保持方向的正规参数不会改变长度；参数速度改变的是沿路行走的快慢。

定义内在长度距离 $d_{M} (p, q) = inf {L (γ) : γ 是 M 内从 p 到 q 的允许路径} .$ 若没有这类路径，令该下确界为 $+ \infty$ 。因此，讨论有限的距离函数时，应在任意两点均能用有限长允许路径连接的部分上进行。光滑连通黎曼流形满足相应的可连接性；这里先讨论从欧氏空间继承长度的情形。^[1]

“允许”是定义的一部分。在三维全空间中，球面上的两点可以走直线；限制在球面上便须绕行。在道路网络中，只允许沿边走，距离又变成带边长的最短路径问题。位置不变，允许的路线不同，距离就可能不同。

距离性质的证明

对任意允许路径，由向量积分与三角不等式， $‖ q - p ‖_{2} = {‖ \int_{a}^{b} γ^{'} (t) d t ‖}_{2} \leq \int_{a}^{b} ‖ γ^{'} (t) ‖_{2} d t = L (γ) .$ 所以 $d_{M} (p, q) \geq ‖ p - q ‖_{2}$ 。这保证不同点的内在距离为正。常值路径给出 $d_{M} (p, p) = 0$ ；反向走同一路线长度不变，给出对称性。

三角不等式也不依赖最短路已经存在。若 $d_{M} (p, q)$ 、 $d_{M} (q, r)$ 有限，给任意 $η > 0$ ，分别选长度小于 $d_{M} (p, q) + η / 2$ 与 $d_{M} (q, r) + η / 2$ 的路径。在 $q$ 处拼接，仍是分段光滑路径，故 $d_{M} (p, r) \leq d_{M} (p, q) + d_{M} (q, r) + η .$ 令 $η ↓ 0$ 即得三角不等式。因此在上述有限距离的部分上， $d_{M}$ 是真正的度量。这个论证使用任意接近下确界的路线，并没有把下确界当作最小值。

若 $M$ 为欧氏空间中的凸集，两点间的线段全部位于 $M$ ，长度恰为 $‖ p - q ‖_{2}$ ，于是上下界一致。球面不包含两点之间的内部线段，不能用这一理由计算其内在距离。

球面距离与大圆短弧

设 $S_{R}^{2} = {x \in ℝ^{3} : ‖ x ‖_{2} = R}, R > 0.$ 给 $p, q \in S_{R}^{2}$ ，令 $θ = \arccos (\frac{p \cdot q}{R^{2}}) \in [0, π] .$ 这是圆心处的较小夹角，角度使用弧度。球面的内在距离为 $d_{S_{R}^{2}} (p, q) = R θ .$

通过球心和两个球面点的大圆截面，标出120度圆心角、长为2π的短弧及长为3√3的弦 — 图为大圆所在平面的真实截面，半径R=3，夹角θ=2π/3。实线弧位于球面，虚线弦穿过球内；两种长度的约束不同。

上界。 当 $0 < θ < π$ 时，取单位向量 $e = p / R$ 与 $v = \frac{q / R - (\cos θ) e}{\sin θ} .$ 由点积可核对 $e \cdot v = 0$ 、 $‖ v ‖_{2} = 1$ 。曲线 $γ (t) = R ((\cos t) e + (\sin t) v), 0 \leq t \leq θ$ 始终在球面上，连接 $p, q$ ，且速度长度为 $R$ ，所以路径长为 $R θ$ 。当两点重合时用常值路径；当 $θ = π$ 时，任选与 $e$ 垂直的单位 $v$ ，同一式子给半个大圆。至此证明距离不超过 $R θ$ 。

下界。 需要排除球面上其他弯曲路线更短的可能。对任意允许路径写 $u (t) = γ (t) / R$ ，则 $‖ u (t) ‖_{2} = 1$ ，从而 $u \cdot u^{'} = 0$ 。在与 $e$ 的夹角 $α (t) = \arccos (e \cdot u (t))$ 位于 $(0, π)$ 的位置， $| α^{'} | = \frac{| e \cdot u^{'} |}{\sin α} = \frac{| (e - (e \cdot u) u) \cdot u^{'} |}{\sin α} \leq ‖ u^{'} ‖_{2} = \frac{‖ γ^{'} ‖_{2}}{R} .$ 其中向量 $e - (e \cdot u) u$ 长度为 $\sin α$ ，不等式来自内积的柯西不等式。换言之，改变相对于起点的角位置，至少要支付相应的路程。

在两极 $α = 0, π$ ，上式的分母为零，不能直接沿整条曲线积分。取 $0 < δ < π / 2$ ，把角度截断为 $α_{δ} (t) = max {δ, min {π - δ, α (t)}} .$ 它也可写成对 $e \cdot u (t)$ 先截断再取反余弦；反余弦只在远离正负一的闭区间上求值，导数有界。因此各光滑段上的 $α_{δ}$ 绝对连续。未被截断处使用上式，被截断处导数几乎处处为零，于是 $| α_{δ} (b) - α_{δ} (a) | \leq \frac{1}{R} \int_{a}^{b} ‖ γ^{'} (t) ‖_{2} d t .$ 当 $δ ↓ 0$ 时，左边趋于 $θ$ ，故所有路径都满足 $L (γ) \geq R θ$ 。结合已经构造的短弧，球面距离公式得证。这一估计也覆盖经过两极的路线，没有对零分母作消去。

算例、变式与弦长比较

取 $R = 3$ ， $p = (3, 0, 0), q = (- \frac{3}{2}, \frac{3 \sqrt{3}}{2}, 0) .$ 两点的模均为三，而 $p \cdot q = - 9 / 2$ ，所以 $\cos θ = \frac{- 9 / 2}{9} = - \frac{1}{2}, θ = \frac{2 π}{3}, d_{S_{3}^{2}} (p, q) = 2 π \approx 6.283185.$ 弦向量为 $q - p = (- 9 / 2, 3 \sqrt{3} / 2, 0)$ ，其长度为 $‖ q - p ‖_{2} = \sqrt{\frac{81}{4} + \frac{27}{4}} = 3 \sqrt{3} \approx 5.196152.$ 直线距离较小，是因为它允许穿过球内，不能拿来替代球面路线的长度。

一般地，点积展开给出 $‖ p - q ‖_{2}^{2} = 2 R^{2} (1 - \cos θ) = 4 R^{2} \sin^{2} (θ / 2),$ 故弦长为 $2 R \sin (θ / 2)$ 。由 $\sin x \leq x$ 得到弦长不超过弧长；小角度时二者接近，但不是处处相等。

单位半径下弧长θ与弦长2sin(θ/2)随夹角变化，弧长曲线在弦长曲线上方 — 纵轴将长度除以R，横轴为弧度θ。到对径点时，球面距离为πR，而弦长只有2R；零附近的接近不能外推到整个球面。

变式。 半径改为二，取 $p = (2, 0, 0)$ 、 $q = (0, 2, 0)$ 。先由点积为零得 $θ = π / 2$ ，再得球面距离 $π$ 、弦长 $2 \sqrt{2}$ 。如果只把上一例的结果按半径比例缩放，会漏掉夹角也发生了改变。

在球面上，非恒定测地线的轨迹是大圆；但一段大圆弧不一定在给定两个端点间最短。比如单位球上夹角为 $π / 3$ 的两点，短弧长为 $π / 3$ ，反方向的大圆长弧为 $5 π / 3$ 。长弧仍是测地线的一段，却不是全局最短路线。对径点间则有无穷多条长度同为 $π R$ 的最短半圆弧。距离的数值唯一，不表示达到它的路径唯一。^[1]

穿孔平面中不被达到的下确界

令 $M = ℝ^{2} ∖ {(0, 0)}$ ，仍使用欧氏弧长，考察 $A = (- 1, 0)$ 到 $B = (1, 0)$ 。任意路线长度至少为直线距离二，但那条长度为二的线段经过已删除的原点。

对任意 $0 < ε < 1$ ，先沿横轴走到 $(- ε, 0)$ ，再绕上半圆到 $(ε, 0)$ ，最后沿横轴走到 $B$ 。这条连续分段光滑路径完全避开原点，长度为 $(1 - ε) + π ε + (1 - ε) = 2 + (π - 2) ε .$ 随着 $ε ↓ 0$ ，路径长度趋于二。因此 $d_{M} (A, B) = 2$ 。

穿孔平面中从负一到一的三条绕行路线，分别用半径二分之一、四分之一和八分之一的小半圆避开原点 — 空心点表示已删除的原点，虚线直径不能通行。绕行半径越小，路长越接近2；半径为零时不再是合法路线。

还需证明长度二真的不能达到。若某条路径长度恰为二，对任意路径上的点 $z$ ，把路线在该处分开，可得 $2 = ‖ A - B ‖_{2} \leq ‖ A - z ‖_{2} + ‖ z - B ‖_{2} \leq L (γ) = 2.$ 所有不等号都须为等号。欧氏三角不等式的等号条件迫使 $z$ 位于线段 $[A, B]$ 。于是整条连续路径都在横轴这条线段上，而其横坐标从负一变到一必经过零，与原点被删除矛盾。故距离虽为二，却没有最短路径。

取 $ε = 1 / 4$ 时，具体路线长度是 $2 + (π - 2) / 4 \approx 2.285398$ 。若要求长度小于 $2.01$ ，只需取 $0 < ε < 0.01 / (π - 2)$ ，例如 $ε = 1 / 200$ 给出约 $2.005708$ 。这能构造任意接近下确界的路线，却始终不会产生长度恰为二的合法路线。

内在距离、度量选择与离散近似

一般度量空间 $(X, d)$ 中，可用分割定义连续曲线的长度： $L_{d} (γ) = sup_{a = t_{0} < \dots < t_{n} = b} \sum_{j = 1}^{n} d (γ (t_{j - 1}), γ (t_{j})) .$ 再取全部连接路径长度的下确界，得到诱导的长度距离 $d_{l e n}$ ，它可能为无穷，并始终满足 $d_{l e n} \geq d$ 。当二者处处相等时，原空间称为长度空间。若还要求每对点的距离都能被一条路线达到，则是更强的测地空间条件。上面的穿孔平面按限制的欧氏距离是长度空间：不穿原点的线段直接可用，穿原点的线段则可用任意小半圆绕开；它却不是测地空间。^[1]

在一般光滑流形上，先给每个切空间选取光滑变化的正定内积 $g$ ，即黎曼度量，再定义 $L_{g} (γ) = \int_{a}^{b} \sqrt{g_{γ (t)} (γ^{'} (t), γ^{'} (t))} d t .$ 相应距离是这些长度的下确界。这里改变的是计量规则，不能不加条件地沿用外部欧氏距离的数值或大小关系。例如平面使用常量矩阵 $g = diag (4, 1)$ 时，从 $(0, 0)$ 到 $(1, 1)$ 的距离是 $\sqrt{5}$ ：坐标替换 $(x, y) \mapsto (2 x, y)$ 将每条路线的长度化为普通欧氏长度，下界 $\sqrt{5}$ 由直线达到。这也把长度计算连接到度量嵌入。

图或三角网格上的最短路，只在所用顶点、边和权重中最短。粗网格限制行走方向，可能高估连续曲面的距离；若边是穿过曲面内部的直线弦，边长又可能低估相应曲面弧长。离散图的最短性证明不能直接当作连续曲面上的精确最短性证明。需要区分测量误差、离散误差和最短路算法本身是否正确；球面地图上的应用还见球面几何与地图投影。

参考资料

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 Ross Ogilvie：Riemannian Geometry, Chapter 4: Geodesics，Universität Mannheim，Spring 2024，§4.3，Definition 4.15、Remark 4.17及随后关于分段光滑路径、穿孔平面和内在距离的讨论；§4.1 Example 4.9与§4.4讨论球面大圆及局部最短性质。访问日期：2026-10-24。讲义先用光滑路径，随后解释与分段光滑定义的等价；本文采用后者以直接拼接路径。

[ogilvie-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 Ross Ogilvie：Riemannian Geometry, Chapter 4: Geodesics，Universität Mannheim，Spring 2024，§4.3，Definition 4.15、Remark 4.17及随后关于分段光滑路径、穿孔平面和内在距离的讨论；§4.1 Example 4.9与§4.4讨论球面大圆及局部最短性质。访问日期：2026-10-24。讲义先用光滑路径，随后解释与分段光滑定义的等价；本文采用后者以直接拼接路径。

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