球面几何与地图投影

球面几何把地球先近似为半径 $R$ 的球，沿球面的大圆短弧量距离；地图投影把球面或椭球面坐标变成平面坐标，以便绘图和计算。经纬度是角度，不是平面上的米。跨地区选址、远程航线和栅格叠加若直接拿经纬度做欧氏距离，误差可能比优化器改进的那一点距离大得多。

同样的经度差，不同的地面距离

纬度 $\phi$ 是赤道以北为正的角，经度 $\lambda$ 沿东西方向变化；计算三角函数时都以弧度代入。固定纬度 $\phi$ 的纬圈半径是 $R\cos \phi$，因此纬圈上一小段经度变化 $\Delta \lambda$ 的长度为 $R\cos \phi |\Delta \lambda |$。在赤道，东行一弧度长 $R$；在北纬 60°，同样的经度差沿纬圈只长 $R/2$。这条纬圈弧一般不是两点间最短的球面路线。

例如两点同在北纬 60°，经度分别为 0° 和 180°。沿该纬圈走半圈，距离是 $R\cos 60^{\circ }\cdot \pi =R\pi /2$；经北极走两段各 30° 的子午线，大圆短弧共 60°，距离是 $R\pi /3$。图中金色路线停在同一纬度，绿色路线越靠近极点。平面图上“水平的一条线”并不能替这两条球面路线比较长度。

球面上的最短路线取大圆短弧；纬圈上的等纬度路线通常更长。

两点球面距离

把两个点记为 $({\phi }_1,{\lambda }_1)$ 和 $({\phi }_2,{\lambda }_2)$。由单位球向量的点积可得中心角 $\delta$ 满足 $$\cos \delta =\sin {\phi }_1\sin {\phi }_2+\cos {\phi }_1\cos {\phi }_2\cos ({\lambda }_2-{\lambda }_1).$$ 因为球面大圆弧长等于半径乘中心角，$d=R\delta$。数值计算中常把同一关系写为半正矢式： $$a={\sin }^2\frac{{\phi }_2-{\phi }_1}{2}+\cos {\phi }_1\cos {\phi }_2{\sin }^2\frac{{\lambda }_2-{\lambda }_1}{2},d=2R\mathrm{atan2}(\sqrt{a},\sqrt{1-a}).$$ 程序中将浮点舍入造成的 $a$ 略低于 0 或略高于 1 的值截回 $[0,1]$。代入前例，${\phi }_1={\phi }_2=\pi /3$、$\Delta \lambda =\pi$，得 $a=1/4$，$\delta =\pi /3$，与过极点路线一致。若两点相同，$a=0$、$d=0$；若恰好对跖，$a=1$、$d=\pi R$，此时有多条等长大圆路线，不能指定唯一方位。

投影坐标与变形

一个最直观的示意投影是 $x=R\lambda$、$y=R\phi$。它把经线、纬线画成正交直线，但图上东西向微小长度 $R|d\lambda |$，实际球面东西向长度是 $R\cos \phi |d\lambda |$；图上东西向比例被放大为 $1/\cos \phi$，在 60° 纬度是两倍。这个推导已经说明“地图上量两点直线长度”不能无条件当作地面距离。

真实地图投影各自选择保角、保面积或局部距离等侧重点，不存在把整个球面无变形铺到一张平面上的投影。做城市尺度优化时可选择适合当地的投影坐标系，并写明坐标参考系、轴次序、单位和有效区域；跨洲路线应直接用球面大圆或椭球测地线。地球更接近参考椭球，精密测绘、工程测距和极区路线宜使用椭球测地线程序，不把一个随手给定的 $R$ 当成精确地球半径。

用于路线与栅格模型

在路网问题里，球面距离只是两点在地表的几何下界，道路单行、山地障碍和通行时间要由实际网络决定。若把两套栅格数据叠加，先核对投影、基准面、像元大小和像元中心；“像素位置相同”不保证对应同一地点。验收时可挑已知经纬度点反算、检查短距离的单位量级，并把同一对点用球面或椭球方法复核。

参考资料与相关词条

• PROJ 文档：投影、转换和坐标参考系变换的区别。
• PROJ 教程：测地线距离与投影平面近似。
• 相关：圆与弧度、单位圆与三角函数、最短路径、空间插值与地统计。