滤过

滤过（filtration，也称信息流）是一列随时间增加的σ代数，用来形式化“到这个时刻已经知道哪些事件”。它不是某条观测数据本身，而是哪些不同结果在当前仍无法区分的规则。随机过程的适应性、可预测性、鞅性质与停时，都要相对于这套信息定义。

递增的σ代数

在概率空间 $(\Omega ,ℱ,Pr)$ 上，离散时间滤过是满足 $${ℱ}_0\subseteq {ℱ}_1\subseteq \cdots \subseteq ℱ$$ 的σ代数族。每个 ${ℱ}_n$ 都包含空集与全集，对补集及可数并封闭；递增性表示已经知道的信息不会在以后被遗忘。对过程 $X_n$，其自然滤过为 ${ℱ}_n^X=\sigma (X_0,\dots ,X_n)$，是使其适应的最小信息族。

两次硬币的可区分结果

设 $\Omega =\{HH,HT,TH,TT\}$，四个结果等概率。尚未观察时，取 ${ℱ}_0=\{\varnothing ,\Omega \}$。只看完第一次后，唯一能区分的两块是 $A=\{HH,HT\}$ 与 $A^c=\{TH,TT\}$，所以 $${ℱ}_1=\{\varnothing ,A,A^c,\Omega \}.$$ 两次都看完后，每个结果都能区分，${ℱ}_2$ 是四点集合的全部十六个子集。事件“第二次正面”即 $\{HH,TH\}$ 不属于 ${ℱ}_1$，因为它切开了当前无法区分的两个块。

树的每层对应一种信息划分。σ代数包含这一层各块能够组成的所有并，不只是图中画出的块本身。

取终值 $Z=1_{\{HH\}}$。未观察时 $𝔼[Z\mid {ℱ}_0]=1/4$。第一次正面后，两个可能结果 $HH,HT$ 中只有一个满足事件，条件期望为二分之一；第一次反面后为零。两次观察完后，条件期望等于 $Z$ 本身。信息增加让预测随观测细化，数值并不必然单调增加。

适应与可预测的时间差

过程 $X_n$ 适应，表示 $X_n$ 是 ${ℱ}_n$ 可测，即现在已能知道当前值。决策 $H_n$ 若是 ${ℱ}_{n-1}$ 可测，称在离散时间中可预测，即第 $n$ 次新观测发生之前已经决定。

例如公平增量 ${\xi }_n\in \{-1,1\}$ 到来前决定押注 $H_n$，收益为 $H_n{\xi }_n$。若 $H_n$ 有界且由过去决定，条件收益均值是 $H_n𝔼[{\xi }_n\mid {ℱ}_{n-1}]=0$。若事后设置 $H_n={\xi }_n$，收益恒为一，但这已经用到了本步结果，不是可预测策略。区别只差一个时间下标，却决定推导是否成立。

当前数值可能遗忘历史

令 $S_n$ 为正负一步游走。只用当前值生成 $\sigma (S_n)$，未必得到滤过。在两步时 $S_2=0$ 的历史可能是先正后负，也可能是先负后正，无法恢复第一步符号。因此 $\sigma (S_1)$ 不包含于 $\sigma (S_2)$。自然滤过 $\sigma (S_0,\dots ,S_n)$ 则保留整段已观测历史，满足递增条件。

变式。 若第一步就同时公开两次硬币结果，新的 ${𝒢}_1$ 等于全部结果σ代数。此时“第二次正面”已经可知，而在旧 ${ℱ}_1$ 中不可知。相同随机变量在两套信息下的条件期望不同，某个过程原本的鞅或停时性质也可能随信息扩充而改变。

连续时间滤过还常加入右连续性与完备性等通常条件，用来处理极限和路径问题；这些是额外规范，不是“信息逐渐增加”本身已经包含的结论。