相似图形的面积比

两个平面图形若由统一的长度比例 $k > 0$ 放大或缩小而彼此对应，称为相似。相应长度之比为 $k$ ，面积之比则为 $k^{2}$ 。长度、面积、体积所随比例变化的幂不同，不能混用。

从三角形的底与高推导

设两相似三角形对应底为 $b$ 与 $k b$ ，对应高为 $h$ 与 $k h$ 。高也按 $k$ 变化，是因为相似保角、对应直角三角形仍相似。于是 $\frac{A_{2}}{A_{1}} = \frac{(k b) (k h) / 2}{b h / 2} = k^{2} .$ 对可三角剖分的相似多边形，每块对应三角形面积都乘 $k^{2}$ ，相加后整个图形同样乘 $k^{2}$ 。圆面积 $π r^{2}$ 也直接显示同一规律。

一大一小两个相似直角三角形，底和高都标出二倍关系，面积变为四倍 — 大三角形的底与高同时变为两倍，内部填色面积因而变为四倍。

边长为3、4、5的直角三角形面积 $3 \times 4 / 2 = 6$ 。把每边放大两倍，得到边长6、8、10的三角形，面积 $6 \times 8 / 2 = 24$ ，正好四倍；周长则仅两倍。若只把底从3改成6、高仍为4，面积确实翻倍，但新图形不一定与原图相似，因为横、纵方向没有按同一比例变化。

从图纸到实物

图纸上一个区域放大成实物，若线性比例为 $1 : 50$ ，实物相应面积是图纸面积的 $5 0^{2} = 2500$ 倍。若图上面积为4平方厘米，实物面积为 $10000$ 平方厘米，即1平方米。单位也需一起换算： $10000 {c m}^{2} = 1 m^{2}$ 。这比先把图上每个边长都量出来再逐项求面积更直接。

参考资料

D. Joyce《几何原本》第六卷命题19：相似三角形的面积平方比。
OpenStax《Contemporary Mathematics》§10.3：相似三角形的边角关系。