相似矩阵

两个同阶方阵 $A,B$ 若存在可逆矩阵 $P$ 使 $B=P^{-1}AP$，就称为相似矩阵。它们是同一个线性变换在两组不同基下的坐标描述，而不是元素逐项相似。

同一变换的两种坐标

设向量在新基下的坐标是 $u$，旧基坐标是 $x=Pu$。旧坐标中的变换 $x\mapsto Ax$ 先作用，再换回新坐标，得到 $u\mapsto P^{-1}APu$。这就推导出 $B=P^{-1}AP$，也解释了三个矩阵的乘法次序。

例如 $D=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$，$P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$。计算 $PD{P}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 3\end{array}\right)=A$。$D$ 与 $A$ 形式不同，却描述同一种变换：在特征方向分别放大2倍和3倍。矩阵对角化正是寻找与对角矩阵相似的表示。

变换不变的量

相似矩阵的特征多项式相同，因为 $$det(\lambda I-P^{-1}AP)=det(P^{-1}(\lambda I-A)P)=det(\lambda I-A).$$ 因此特征值、行列式和迹相同；秩也相同，因为左右乘可逆矩阵不改变像空间维数。然而仅凭特征值、行列式和迹相同，还不能断定相似：零矩阵与 $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$ 都有迹0、行列式0、唯一特征值0，但前者秩0、后者秩1，故不相似。

相似只对方阵和可逆换基有定义；若用不可逆矩阵去“换基”，信息会丢失，$P^{-1}$ 根本不存在。实际判断相似，还需比较更细的结构，例如每个特征值对应的独立特征向量数。

参考资料

• MIT OpenCourseWare 18.06：Lecture 28 Similar Matrices：换基与相似。
• MIT OpenCourseWare 18.06SC：Change of Basis 相关讲义：不同基下的矩阵表示。