矩阵函数

矩阵函数（matrix function）把标量函数作用到方阵的线性算子结构上。对多项式，含义直接由矩阵加法与乘法给出；对指数、对数等函数，则需说明收敛条件或所选分支。通常的矩阵函数不是把标量函数逐个作用于每个矩阵元素。

例如矩阵指数定义为 $e^A=I+A+A^2/2!+\cdots$，所以 $e^{0_{2\times 2}}=I_2$。逐元素取指数却得到全为一的矩阵。两种运算的输出从最简单的零矩阵就已经不同。

多项式与换基

对 $p(t)=\sum _{k=0}^m{a}_k{t}^k$，定义 $p(A)=\sum a_k{A}^k$，其中 $A^0=I$。它对相似变换具有协变性：若 $A=PB{P}^{-1}$，反复相乘使中间的 $P^{-1}P$ 消去，给出 $$p(A)=Pp(B)P^{-1}.$$ 因此若 $A=P\mathrm{diag}({\lambda }_i)P^{-1}$ 可对角化，便有 $p(A)=P\mathrm{diag}(p({\lambda }_i))P^{-1}$。矩阵函数由同一个算子在不同坐标中的表示所决定，而非由某一张数表的表面元素所决定。

幂级数与收敛

设 $f(z)=\sum _{k\ge 0}{a}_k(z-z_0{)}^k$ 的收敛半径为 $R$。对某个次乘性矩阵范数，若 $\Vert A-z_{0}I\Vert <R$，则 $$f(A)=\sum _{k\ge 0}{a}_k(A-z_{0}I{)}^k$$ 绝对收敛，因为各项范数受收敛的标量级数 $\sum |a_k|\Vert A-z_{0}I{\Vert }^k$ 控制。这个充分条件便于直接证明，未声称它是最弱条件。指数级数半径无穷，因而适用于所有有限方阵。

对谱附近解析的函数，还可通过约旦标准形定义。若 $J=\lambda I+N$ 是大小 $r$ 的块，则 $N^r=0$，Taylor 展开截成有限和： $$f(J)=\sum _{k=0}^{r-1}\frac{f^{(k)}(\lambda )}{k!}{N}^k.$$ 一般解析函数演算的良定义性可由插值等价定义证明；这里用块公式解释需要保留哪些信息。只有特征值处的函数值还不够，非平凡约旦块同时需要导数。

一个二阶块的指数

令 $A=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 0& 2\end{array}\right)=2I+N$，$N^2=0$。先对整数幂展开：$A^k=2^{k}I+k{2}^{k-1}N$（$k\ge 1$）。分别把两类项代回指数级数，得 $$e^{tA}=e^{2t}I+t{e}^{2t}N=e^{2t}\left(\begin{array}{cc}1& 3t\\ 0& 1\end{array}\right).$$ 取 $t=1/2$，上方元素为 $3e/2$，不是 $e^{3/2}$。核对也可对结果求导：乘积法则给出 $\frac{d}{dt}{e}^{tA}=A{e}^{tA}$，且零时刻为 $I$。故它给出线性系统 $x^{\prime }=Ax$ 的状态传播。

仅含有限信息的插值

若 $m_A(t)=\prod _j(t-{\lambda }_j{)}^{r_j}$ 是最小多项式，可以选唯一的次数小于 $\mathrm{deg}{m}_A$ 的 Hermite 插值多项式 $p$，使其在每个 ${\lambda }_j$ 处与 $f$ 的零至 $r_j-1$ 阶导数一致。定义 $f(A)=p(A)$ 与上述块公式一致。它把无限级数问题化成有限代数问题，但不同解析分支仍可能给出不同数据，例如矩阵对数。

变式取 $B=\mathrm{diag}(1,4)$，并在正实轴附近选择正平方根分支，则 $f(B)=\mathrm{diag}(1,2)$。若改用其他符号，得到的也可能是平方根，却不再是所选主分支。另须保持乘法次序：一般并无 $e^{A+B}=e^A{e}^B$；在交换条件 $AB=BA$ 下，可按标量方式合并两套指数级数。

参考文献

Nicholas J. Higham，What Is a Matrix Function?，关于多项式、Jordan与插值定义。 Sheldon Axler，Linear Algebra Done Right，第四版，§5A（算子多项式）、5B、8C（块结构）；本文例子与图解独立构造。