矩阵指数

矩阵指数（matrix exponential）把标量指数函数的幂级数用于方阵。对实或复 $n\times n$ 矩阵 $A$，定义 $$e^A=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{A^k}{k!}=I+A+\frac{A^2}{2!}+\cdots ,$$ 其中 $A^0=I$，$I$ 为同阶单位矩阵。它是矩阵乘法意义下的函数，不是对每个元素分别取指数。矩阵指数描述常系数线性微分方程的连续时间演化。

取 $N=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$。直接相乘得到 $N^2=0$，所有高次项都消失，所以 $$e^{tN}=I+tN=\left(\begin{array}{cc}1& t\\ 0& 1\end{array}\right).$$ 它把 $(x,y)$ 送到 $(x+ty,y)$，是一族随时间连续变化的剪切。逐元素取指数会把零元素变成一，连 $t=0$ 时应为单位矩阵的要求都不满足。

幂级数的收敛与微分

选一个诱导矩阵范数，例如谱范数；它满足 $\Vert I\Vert =1$ 以及次乘性 $\Vert AB\Vert \le \Vert A\Vert \Vert B\Vert$。有 $$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\Vert \frac{A^k}{k!}\Vert \le \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\Vert A{\Vert }^k}{k!}=e^{\Vert A\Vert }<\mathrm{\infty }.$$ 因此级数绝对收敛，定义了一个有限方阵。对任意有限区间 $|t|\le T$，第 $k$ 项又由 $T^k\Vert A{\Vert }^k/k!$ 一致控制；导数级数由同类收敛级数控制，允许逐项求导。将指标移一位得到 $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{e}^{tA}=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{t^{k-1}{A}^k}{(k-1)!}=A{e}^{tA}=e^{tA}A.$$ 最后两个乘积相等，因为每一项都是 $A$ 的幂，而不是因为任意矩阵都可交换。

于是对初值问题 $x^{\prime }(t)=Ax(t),x(0)=x_0$，函数 $x(t)=e^{tA}{x}_0$ 满足方程和初值。唯一性也可直接验证：任何另一个解 $y$ 都满足 $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(e^{-tA}y(t))=-A{e}^{-tA}y(t)+e^{-tA}Ay(t)=0.$$ 所以 $e^{-tA}y(t)=x_0$，从而 $y(t)=e^{tA}{x}_0$。这里用到 $e^{-tA}{e}^{tA}=I$，它可由下一节的同一矩阵加法公式得到。

可交换时的加法公式

若 $AB=BA$，则 $$e^{A+B}=e^A{e}^B.$$ 证明从绝对收敛级数的柯西乘积出发。总次数为 $k$ 的项之和为 $$\sum _{j=0}^k\frac{A^j{B}^{k-j}}{j!(k-j)!}=\frac{1}{k!}\sum _{j=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})A^j{B}^{k-j}=\frac{(A+B{)}^k}{k!}.$$ 最后一步是可交换矩阵的二项式公式；再对 $k$ 求和即得结论。令 $A$ 与 $B$ 分别为 $tA$ 与 $sA$，得到 $$e^{(t+s)A}=e^{tA}{e}^{sA},(e^{tA}{)}^{-1}=e^{-tA}.$$ 因此矩阵指数总可逆，即使原矩阵奇异。

可交换条件不能删去。取 $$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right).$$ 两者平方都为零，所以 $e^A{e}^B=(I+A)(I+B)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$。而 $(A+B{)}^2=I$，把幂级数分为偶数项与奇数项得到 $$e^{A+B}=\left(\begin{array}{cc}\cosh 1& \sinh 1\\ \sinh 1& \cosh 1\end{array}\right).$$ 它的两个对角元相等，与前一矩阵不同。失败点正是二项式展开中 $AB$ 与 $BA$ 不能合并。

衰减与剪切共同作用的手算例子

考虑 $A=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 0& -1\end{array}\right)=-I+2N$，其中 $N^2=0$。$-I$ 与 $N$ 可交换，所以 $$e^{tA}=e^{-t}{e}^{2tN}=e^{-t}\left(\begin{array}{cc}1& 2t\\ 0& 1\end{array}\right).$$ 若初值为 $x_0=(0,1{)}^{𝖳}$，则 $$x(t)=\left(\begin{array}{c}2t{e}^{-t}\\ e^{-t}\end{array}\right).$$ 第一坐标在零时刻为零，到 $t=1$ 时为 $2/e\approx 0.7358$，随后衰减；第二坐标从一持续衰减。直接代回可得 ${x_2}^{\prime }=-x_2$、${x_1}^{\prime }=-x_1+2x_2$，与方程相符。

两个特征值均为负一，但第一坐标仍可先增加；耦合项将第二坐标的影响传到第一坐标。

图中先增后减来自 ${x_1}^{\prime }(t)=2e^{-t}(1-t)$，在 $t=1$ 变号。负特征值保证本例最终趋于零，不保证每个坐标从一开始就单调衰减。矩阵的特征值不能代替对具体输出量的计算。

变式将初值改为 $(1,1{)}^{𝖳}$，得到 $x_1(t)=(1+2t)e^{-t}$、$x_2(t)=e^{-t}$。第一坐标的导数为 $(1-2t)e^{-t}$，最大值在 $t=1/2$，等于 $2e^{-1/2}\approx 1.2131$。同一演化矩阵作用于不同初值，峰值时间可以不同。

相似变换与数值计算

若 $A=PD{P}^{-1}$，则归纳可得 $A^k=P{D}^k{P}^{-1}$，逐项求和得到 $e^A=P{e}^D{P}^{-1}$。若 $D$ 对角，其对角元只需各自取标量指数。但不是每个矩阵都可对角化；上例非零的幂零部分就需要保留，不能只把两个特征值负一代入后写成 $e^{-t}I$。

幂级数定义不意味着直接累加就是一般数值计算的最佳方法。较大矩阵常用缩放—平方与有理逼近，或只计算 $e^{tA}{x}_0$ 的作用；后者未必需要形成整个指数矩阵。舍入、消去和矩阵尺度会影响算法选择。上面的有限项幂零例子用于解释定义，不能据它给任意矩阵的截断精度作保证。