离散型随机变量的分布列

离散型随机变量的分布列把随机变量可能取到的每个数值，与取到该值的概率逐一对应。若 $X$ 的可能值是 $x_{1}, x_{2}, \dots$ ，记 $p_{i} = P (X = x_{i})$ ；每个 $p_{i} \geq 0$ ，且全部可能值的概率之和为 1。分布列描述的是数值及其机会，不是只列出可能数值。

从抽取结果压缩成一个数字

袋中有 5 张外观相同的卡片，其中 2 张标记、3 张未标记。随机地一次抽出 2 张，不放回；令 $X$ 为抽到的标记卡片数。每一组两张卡片等可能，共 $(\binom{5}{2}) = 10$ 种。 $X$ 只能是 0、1、2： $\begin{matrix} P (X = 0) & = \frac{(\binom{2}{0}) (\binom{3}{2})}{(\binom{5}{2})} = \frac{3}{10}, \\ P (X = 1) & = \frac{(\binom{2}{1}) (\binom{3}{1})}{(\binom{5}{2})} = \frac{6}{10}, \\ P (X = 2) & = \frac{(\binom{2}{2}) (\binom{3}{0})}{(\binom{5}{2})} = \frac{1}{10} . \end{matrix}$ 分子分别选标记卡与未标记卡，分母数全部两卡组合。每个抽取结果恰落在一个 $X$ 值中，所以 $3 / 10 + 6 / 10 + 1 / 10 = 1$ 是必须通过的核验。

标记数 $x$	0	1	2
$P (X = x)$	$3 / 10$	$6 / 10$	$1 / 10$

图中三个柱的高度分别是这三个单点概率。横轴为离散取值， $X = 1.5$ 没有概率质量；把柱顶连成光滑曲线再量其下方面积，会改变原问题。需要计算如 $P (X \geq 1)$ 的事件，就把相应柱高相加： $6 / 10 + 1 / 10 = 7 / 10$ 。

随机变量可取零一二，对应三根概率柱高度为零点三、零点六、零点一，整数之间没有概率柱 — 至少抽到一张标记卡的概率是后两根柱高之和 0.7。

从分布列到累计概率

分布函数定义为 $F (t) = P (X \leq t)$ 。在这个例子里， $t < 0$ 时为 0； $0 \leq t < 1$ 时为 $3 / 10$ ； $1 \leq t < 2$ 时为 $9 / 10$ ； $t \geq 2$ 时为 1。每经过一个可能值，累计概率跳过该值的单点概率。因而 $P (X > 0) = 1 - F (0) = 7 / 10$ 。

分布列还能计算离散型随机变量的均值与方差。若抽取改为放回，第二次结果不会改变袋中比例，分布会变成参数 $n = 2, p = 2 / 5$ 的二项分布；这里不放回，两个抽取结果有关联，属于超几何分布。同样的取值 0、1、2 并不足以确定同样的分布，抽样机制也是定义的一部分。

试算。若只问“恰有一张未标记卡”，那与 $X = 1$ 是同一事件，概率 $6 / 10$ 。若问“至少一张未标记卡”，对应 $X \leq 1$ ，概率 $9 / 10$ ；翻译事件时先写出 $X$ 的含义，比直接套数字稳妥。

参考资料

Penn State STAT 414，第 7 课：离散型随机变量、概率质量函数与分布函数。