积分中值定理

积分中值定理说：若 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续且 $a<b$，必有某个 $c\in [a,b]$，使 $${\int }_a^{b}f(x)dx=f(c)(b-a).$$ 换言之，连续曲线在这段区间的平均高度，等于它在某一点的实际高度。

先算平均高度

对 $f(x)=x^2$、$[a,b]=[0,2]$，面积的有向积分为 ${\int }_0^2{x}^{2}dx=8/3$。区间长度是2，平均高度 $(8/3)/2=4/3$。令 $c^2=4/3$，在区间内得到 $c=2/\sqrt{3}$。所以不是猜一个“差不多在中间”的点，而是由平均值准确求出一个满足结论的位置。

存在性的证明

连续函数在闭区间上取得最小值 $m$ 和最大值 $M$。由 $m\le f(x)\le M$ 积分得 $$m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a).$$ 除以正数 $b-a$，平均高度落在 $[m,M]$ 内。再用介值定理：连续函数从取得 $m$ 的点走到取得 $M$ 的点，会取得二者之间的每一个值，故某点的函数值恰为平均高度。证明同时说明 $c$ 不必唯一。

连续性在“平均高度一定被取到”这一步发挥作用。令 $f(x)=0$（$0\le x<1/2$）、$f(x)=2$（$1/2\le x\le 1$），平均高度为1，但函数只取0和2，没有任何 $c$ 使 $f(c)=1$。积分仍存在，定理的结论却失败。

参考资料

• OpenStax《Calculus Volume 1》§5.3：积分中值定理与积分基本定理。
• 同书 §2.4：连续性与介值性质。