第一类错误与第二类错误

统计检验根据样本决定是否拒绝原假设 $H_{0}$ ，真相却由总体参数决定。第一类错误是 $H_{0}$ 为真却拒绝它；第二类错误是 $H_{0}$ 为假却未拒绝它。两者对应不同的真实状态，不能把“没有拒绝”叫作“接受为真”。

一个检测规则的四种结局

设硬币抛十次，检验 $H_{0} : p = 1 / 2$ 对 $H_{1} : p > 1 / 2$ ，规则定为“正面至少九次就拒绝 $H_{0}$ ”。若硬币确实公平而样本出现九次或十次正面，就是第一类错误；其概率 $α = P_{p = 1 / 2} (X \geq 9) = \frac{(\binom{10}{9}) + 1}{2^{10}} = \frac{11}{1024} \approx 0.0107.$ 若硬币真实正面概率为0.8，却只观察到八次或更少正面并未拒绝，便是第二类错误。这个错误的概率依赖具体的真实值 $p$ ，记为 $β (p) = P_{p} (X \leq 8)$ ；不能像 $α$ 那样在不说明备择值时只报一个数。

真实状态	拒绝 $H_{0}$	未拒绝 $H_{0}$
$H_{0}$ 为真	第一类错误	决策正确
$H_{0}$ 为假	决策正确	第二类错误

门槛与样本量

若把拒绝门槛从九次正面降为八次，在公平硬币下误拒的机会升高，但当 $p > 1 / 2$ 时漏检的机会下降。固定样本量和同一检验方向下，这通常是一种取舍；若增加独立样本并恰当调整规则，则可以同时压低两类错误。检验功效把第二类错误换成“真正存在偏差时成功检出”的概率，便于设计试验。

参考资料

宾夕法尼亚州立大学 STAT 500：Type I and Type II Errors：两类错误与检验水平。
OpenStax《Introductory Statistics 2e》§9.2：决策和真实状态的交叉分类。