等价无穷小

当 $x\to a$ 时，两个函数 $f(x)$、$g(x)$ 都趋于零，且在足够接近 $a$ 的去心范围内 $g(x)\ne 0$，若 $f(x)/g(x)\to 1$，就称二者在该极限过程中等价无穷小，记作 $f\sim g$。这里的“等价”是相对误差趋零，不是两个函数处处相等。

用一个基本极限换算

以弧度表示角时，$\underset{x\to 0}{lim}\sin x/x=1$，所以 $\sin x\sim x$。由 $1-\cos x=2{\sin }^2(x/2)$ 及 $\sin (x/2)\sim x/2$， $$\frac{1-\cos x}{x^2/2}={\left(\frac{\sin (x/2)}{x/2}\right)}^2⟶1.$$ 因此 $1-\cos x\sim x^2/2$。例如 $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-\cos x}{x\sin x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{(1-\cos x)/(x^2/2)}{2\sin x/x}=\frac{1}{2}.$$ 写出比值的因子，比直接“把符号替换掉”更能看清条件。

替换的边界

若 $f\sim g$ 且 $h\sim k$，则在分母不为零时 $fh/(gk)\to 1$，所以乘积、商中的等价替换通常有明确依据。但在相减时，两个领先项可能抵消。例如 $\sin x\sim x$，却不能据此把 $\sin x-x$ 写成“约等于零”后断定 $(\sin x-x)/x^3$ 的极限；所求差值恰恰由被忽略的更小项决定。

同样 $e^x-1\sim x$ 可由 $e^x$ 在0处的导数为1推出，但 $e^x-1-x$ 需要更高阶展开。遇到几项相消，应改用泰勒定理或精确代数恒等式。等价无穷小简化的是有主导量的比值，不是任意表达式。

参考资料

• OpenStax《Calculus Volume 1》§2.3：基本极限与极限法则。
• OpenStax《Calculus Volume 2》泰勒展开章节：相消时的高阶项。