等式与不等式的性质

等式记录两个量相等；不等式记录它们的大小顺序。移项、同加和同乘都可以解释为在等式两边做同一运算；不等式也允许同加，但乘一个负数会把顺序反过来。解题时写清每步做了什么，比背“移项变号”更可靠。

同加同减与同乘

若 $a = b$ ，则任意实数 $c$ 都满足 $a + c = b + c$ ；若 $a < b$ ，也有 $a + c < b + c$ 。数轴上同时平移两个点，不会改变它们的相对左右位置。例如 $2 < 5$ ，两边减 7 后仍有 $- 5 < - 2$ 。

正数 $c > 0$ 保持顺序： $a < b \Rightarrow a c < b c$ ；负数 $c < 0$ 反转顺序： $a < b \Rightarrow a c > b c$ 。由 $2 < 5$ 同乘 $- 3$ 得 $- 6 > - 15$ 。在数轴上乘负数相当于先按 $| c |$ 缩放，再关于零点翻转。

若 $c = 0$ ，两端都变为零，不再保留严格不等号。因此“同乘 $c$ ”必须先查它的符号；不知道符号时，不能直接决定新不等号的方向。

解一个不等式时逐步保留等价

求 $- 2 x + 3 < 7$ 。两边同减 3 得 $- 2 x < 4$ ；两边再除以 $- 2$ ，顺序反向，得 $x > - 2$ 。把 $x = 0$ 代回原式得到 $3 < 7$ ；把边界 $x = - 2$ 代回则两端相等，不满足严格不等式。因此解集是 $(- 2, \infty)$ 。

不能把不等式两边随意平方。由 $- 3 < 2$ 平方会变成 $9 > 4$ ；平方函数只在非负数范围内单调递增。若已知 $0 < a < b$ ，才可推出 $a^{2} < b^{2}$ ，同时取倒数得到 $1 / a > 1 / b$ 。后一反向可由 $1 / a - 1 / b = (b - a) / (a b) > 0$ 检查。

等式变形也有条件

由 $a b = a c$ 得到 $b = c$ 需要 $a \neq 0$ ；若 $a = 0$ ，原式对任意 $b, c$ 都成立。解方程时两边平方可能引入多余解，除以含变量的式子可能丢掉零点。每次做不可逆的运算后，应把候选解代回原式核验。

例如 $\sqrt{x + 1} = x - 1$ 的右边必须非负，故 $x \geq 1$ 。平方得到 $x + 1 = (x - 1)^{2}$ ，解出 $x = 0$ 或 $x = 3$ ；其中 $x = 0$ 不在允许范围，代回也不成立。真正的解只有 $x = 3$ 。

参考资料

OpenStax，《College Algebra 2e》，第 2 章要点：不等式与方程变形条件。
继续阅读：基本不等式、二次函数、方程与不等式。