二次函数、方程与不等式

一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a \neq 0$ ）寻找抛物线与横轴的交点；一元二次不等式则寻找抛物线在横轴上方或下方的横坐标。方程的根把数轴分段，在每段上判断符号，就能把代数、图像和解集对应起来。

根的公式从配方来

把 $a x^{2} + b x + c = 0$ 两边除以 $a$ ，移项并配方： $x^{2} + \frac{b}{a} x = - \frac{c}{a} ⟹ {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}} .$ 右边必须非负，方程才有实根。记判别式 $Δ = b^{2} - 4 a c$ ： $Δ > 0$ 有两个不同实根， $Δ = 0$ 有一个二重实根， $Δ < 0$ 没有实根。前两种情形统一写成 $x = \frac{- b \pm \sqrt{Δ}}{2 a} .$ 这个公式是从等价变形得到的，不必把判别式当成凭空出现的表格。

用根把不等式分段

求 $x^{2} - 5 x + 6 > 0$ 。先解方程： $x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)$ ，根为 2、3。两因子都负时 $x < 2$ ，乘积为正；一负一正时 $2 < x < 3$ ，乘积为负；两因子都正时 $x > 3$ ，乘积再为正。因此解集为 $(- \infty, 2) \cup (3, \infty) .$ 若改为 $\geq 0$ ，两个根也满足，解集变为 $(- \infty, 2] \cup [3, \infty)$ 。图像中这两段正是抛物线位于横轴上方或落在轴上的部分；端点是否保留，由严格还是非严格不等号决定。

抛物线在二和三处与横轴相交，根外位于轴上方记正，根间位于轴下方记负 — 先找零点 2、3，再读三个区间的符号；等号是否保留决定端点的圆括号或方括号。

系数 $a$ 改为负时，图像上下翻转。例如 $- x^{2} + 5 x - 6 > 0$ 等价于 $x^{2} - 5 x + 6 < 0$ ，解集反而是 $(2, 3)$ 。不能只背“根外正、根内负”而忘记开口方向。

重根与无实根

$(x - 2)^{2} \geq 0$ 对所有实数成立，并且只在 $x = 2$ 取等号； $(x - 2)^{2} < 0$ 则无解。 $x^{2} + 1 > 0$ 也对所有实数成立，尽管它没有实根，因为它始终离横轴至少一单位。根的数量帮助分段，但最终仍要判断二次式的符号。

练习：求 $2 x^{2} - 8 x + 6 \leq 0$ 。先除以正数 2，得到 $(x - 1) (x - 3) \leq 0$ ；两因子在 1 与 3 之间异号，根处为零，所以解集是 $[1, 3]$ 。若除以负数，不等号方向必须反转，见等式与不等式的性质。

参考资料

OpenStax，《College Algebra 2e》，§2.5：配方与求根。
OpenStax，《Intermediate Algebra 2e》，§9.8：二次不等式与图像。
继续阅读：二次函数模型、函数的单调性与最值。