等距抽样

等距抽样（系统抽样）把有序抽样框按固定间隔取单位。若总体大小 $N=nk$，先在前 $k$ 个位置均匀随机选一个起点 $r$，再抽 $r,r+k,\dots ,r+(n-1)k$。随机起点不可省；固定“总从第一个开始”没有上述概率性质。

一个会误导标准误的名单

设 12 人排成四组，每组的活动时长依次为 0、0、12 小时。要抽 4 人，间隔 $k=3$。起点 1 抽到四个 0，起点 2 也抽到四个 0，起点 3 抽到四个 12。总体平均为 4 小时；三个可能样本均值是 0、0、12，随机起点下它们的期望为 $(0+0+12)/3=4$，故均值估计仍无偏。

名单存在与抽样间隔相同的周期时，三个随机起点得到截然不同的样本。

然而设计方差为 $[(0-4{)}^2+(0-4{)}^2+(12-4{)}^2]/3=32$ 平方小时。任何一次样本内部都四个相同值；若把它误当简单随机抽样，算出的样本方差是 0，标准误也会错误地报成 0。等距抽样可能比简单随机抽样更有效，也可能像本例更差，取决于名单顺序。

无偏性与方差的界限

当 $N=nk$ 且起点等概率时，总体每人恰属于一个起点对应的样本，所以入样概率是 $1/k=n/N$。用入样指示变量或把 $k$ 个样本均值取平均，都能得到 $E({\overline{y}}_{\mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{s}})=\overline{Y}$。

但一次只观察到 $k$ 个系统样本中的一个，其他起点的均值未知；仅凭这一次系统样本，通常无法无假设地估计设计方差。若名单经过随机打乱，可根据具体随机化设计推断；若有多个独立随机起点或在层内重复实施，也可利用重复来估计波动。将系统样本直接代入 SRS 方差式需要额外的顺序假设，报告中应说明。实际 $N$ 未必能写成 $nk$，这时需预先指定循环抽取或可变间隔规则，重新核对入样概率。

参考资料

• 加拿大统计局：系统抽样与名单周期性。
• 加拿大统计局：《Survey Methods and Practices》，系统抽样的估计。