累积分布函数

随机变量 $X$ 的累积分布函数（CDF）是 $F_X(x)=P(X\le x)$。它回答阈值问题：“结果不超过 $x$ 的机会多大？”无论分布离散、连续还是混合，CDF 都有定义，且能确定整个分布。

台阶表示离散概率

若 $X$ 是公平骰子的点数，则 $F_X(2.5)=P(X\le 2.5)=2/6$，$F_X(3)=3/6$。在整数 3 处，CDF 跳高 $1/6$；一般地 $$P(X=x)=F_X(x)-\underset{t\uparrow x}{lim}{F}_X(t).$$ 所以每个跳跃大小恰是该点的概率。对任意 $a<b$，$P(a<X\le b)=F_X(b)-F_X(a)$，端点写法与定义中的“≤”相配。

基本性质

$F_X$ 不减、取值在 $[0,1]$，且 $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{F}_X(x)=0$、$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{F}_X(x)=1$。它还右连续：若 $x_n\downarrow x$，事件 $\{X\le x_n\}$ 逐个缩小到 $\{X\le x\}$，概率随之趋于 $F_X(x)$。

在具有密度 $f$ 的分布中，$F_X(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x}f(t)dt$。有跳跃的 CDF 则不能把整个分布都写成普通密度积分；遇到零点与连续部分混合的模型时尤其要区分。

参考资料

• MIT 18.05，Distributions 讲义。
• MIT 6.041，概率论讲义。
• 继续阅读：随机变量、概率密度函数。