经济订货量模型

经济订货量模型（economic order quantity，EOQ）研究在稳定需求下每次应订多少货，使长期平均的订货与库存持有成本之和最小。小批量意味着频繁订货，大批量意味着更多货物等待使用；模型把这两项相反的影响写成同一个成本函数。

它不是预测需求的方法。需求速度、订货费用和持有费用都是模型的输入；若这些输入与补货假设不合实际，就需要修改模型。

为什么不能只比较每次订货的费用

设一个维修库房每年均匀使用12000件标准零件，每下一张订单，无论订多少件，都发生75元固定处理费用。每件零件每存放一年，需要6元持有费用。所有数值均为合成教学数据；一年按300个工作日计算，故每天均匀使用40件。

若每次订100件，一年平均要下120次订单，仅订货处理费就是9000元；若每次订1000件，一年平均只下12次订单，处理费降至900元。但后一种方案会让更多零件长时间占用仓储与资金。要比较两种方案，必须同时计算库存的时间平均值。

基本EOQ模型作如下约定：需求速度确定且恒定；每次订货批量相同且全部瞬时到货；不允许缺货；订货固定费用不随批量改变；单位持有费恒定；没有批量价格折扣，单价也不随时间变化。它研究重复补货形成的长期平均成本，暂不计期末清仓、一次性项目的剩余库存等效应。MIT库存课程讲义由这组假设建立基本模型，并分别讨论有限生产速度和数量折扣等扩展。

一个补货周期中的库存面积

记需求率为 $D$ （件/年），单次订货量为 $Q > 0$ （件）。刚到货时库存为 $Q$ ，随后以速度 $D$ 匀速减少。直到下一批到货前，库存降为零，一个周期长度为 $T = \frac{Q}{D} 年 .$ 在周期内部 $0 \leq t < T$ ，库存为 $I (t) = Q - D t$ 。周期平均库存不是图上随便选一个高度，而是时间积分除以周期： $\begin{matrix} \bar{I} & = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} (Q - D t) d t = \frac{1}{T} (Q T - \frac{D T^{2}}{2}) \\ = Q - \frac{D T}{2} = \frac{Q}{2} . \end{matrix}$ 最后一步用了 $D T = Q$ 。

以每次六百件为示例，库存每十五个工作日从六百匀速降到零，然后瞬时补回六百，平均库存为三百 — 一个周期的库存时间积分是底为15日、高为600件的三角形面积。虚线300表示时间平均库存，不表示每一天都存有300件。

图用 $Q = 600$ 演示库存形状。每天40件，十五个工作日正好用完；平均库存为300件。图中的竖线是理想化的瞬时补货，不能解释成持续了一段时间的生产过程。

把各项费用统一到每年

设每次固定订货费为 $K$ （元/次），单位持有费为 $h$ （元/(件·年)）。长期平均每年订货次数是 $D / Q$ ，因此 $年订货费用 = K \frac{D}{Q}, 年持有费用 = h \frac{Q}{2} .$ 这里 $D / Q$ 可以不是整数，它表示长期平均频率。若只安排一个孤立年度、严格限制订单整数次数并考虑年底余货，就已是另一个有限期问题。

与批量有关的年成本为 $C (Q) = \frac{K D}{Q} + \frac{h Q}{2}, Q > 0.$ 本例为 $C (Q) = 900000 / Q + 3 Q$ ，单位是元/年。固定单价为 $c$ 元/件时，另有采购成本 $c D$ ；它不随 $Q$ 改变，可以在比较批量时暂时省略，但核算全部支出时要加回去。

订货成本随批量按反比例下降，持有成本线性上升，两者之和在约五百四十八件处最小 — 两项费用相等的批量，恰好使本模型的总相关成本最小；交点与总成本最低点的横坐标相同，高度不同。

读图时，先分别看下降的订货费用和上升的持有费用，再看它们在同一个横坐标相加后的总成本。最低点既不是订货费用最低的地方，也不是库存最少的地方。

推导最优批量，并证明是全局最小

假定 $D, K, h > 0$ ，对正批量求导： $C^{'} (Q) = - \frac{K D}{Q^{2}} + \frac{h}{2} .$ 令导数为零，逐步整理为 $\frac{K D}{Q^{2}} = \frac{h}{2}, Q^{2} = \frac{2 K D}{h}, Q_{*} = \sqrt{\frac{2 K D}{h}} .$ 平方根取正支，因为订货量必须为正。对于 $Q < Q_{*}$ ，导数为负，增加批量会降低成本；对于 $Q > Q_{*}$ ，导数为正，继续增加批量会提高成本。并且 $C^{″} (Q) = \frac{2 K D}{Q^{3}} > 0.$ 所以成本在正半轴严格凸，只有一个驻点；加上两端 $Q \to 0^{+}$ 、 $Q \to \infty$ 时成本都趋于无穷，这个点就是唯一全局最小值。

也可以直接给出不依赖微分的证据。两项成本都为正，故 $\frac{K D}{Q} + \frac{h Q}{2} \geq 2 \sqrt{\frac{K D}{Q} \frac{h Q}{2}} = \sqrt{2 K D h} .$ 这是算术平均数不小于几何平均数；它可以由 $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^{2} \geq 0$ 得到。等号恰在 $K D / Q = h Q / 2$ 时成立，解出的也是 $Q_{*}$ 。此时年订货费与年持有费相等，各占最小相关成本的一半。

单位也能核对公式： $K D / h$ 的单位为件的平方，开方后是件。如果把每天需求与每年持有费用直接混用，根号下的时间单位不会正确抵消。

库房案例的完整结果

代入本例参数： $Q_{*} = \sqrt{\frac{2 \times 75 \times 12000}{6}} = 100 \sqrt{30} \approx 547.7226 件 .$ 平均库存约273.8613件，年订货次数约 $12000 / 547.7226 = 21.9089$ 次。最优周期为 $T_{*} = \frac{547.7226}{12000} 年 \approx 13.6931 工作日 .$ 这里最后一步按每年300个工作日换算。最小相关成本为 $C (Q_{*}) = \sqrt{2 \times 75 \times 12000 \times 6} \approx 3286.3353 元/年 .$ 订货费与持有费各约1643.1677元/年。

若零件只能按整数件订货，连续最优值两侧的547件与548件需要比较。由于 $C$ 在 $Q_{*}$ 左边严格下降、右边严格上升，其他整数不可能比这两个更好： $C (547) \approx 3286.3382, C (548) \approx 3286.3358.$ 所以整数批量选548件。若供应商规定每箱50件、只能整箱下单，则比较500与550：成本分别为3300和约3286.3636元/年，应选550件。这里“比较相邻候选”有单调性作为依据，不能把任意离散优化都当作四舍五入。

最优点附近，批量偏差的代价

设实际订货量为 $Q = k Q_{*}$ ，其中 $k > 0$ 。在最优点两项成本相等，记各项为 $A$ ，则新订货费为 $A / k$ ，持有费为 $A k$ 。因此 $\frac{C (k Q_{*})}{C (Q_{*})} = \frac{1}{2} (k + \frac{1}{k}),$ $\frac{C (k Q_{*}) - C (Q_{*})}{C (Q_{*})} = \frac{(k - 1)^{2}}{2 k} .$ 批量增加20%时，相关成本只增加约1.667%；批量减少20%时，增加2.5%。两侧不完全对称。这个相对误差是订货加持有成本的误差，并不是加上采购常数 $c D$ 后全部支出的同一百分比。

成本比随订货量比k变化，k等于一时取一，零点八处为一点零二五，一点二处约一点零一六七 — 最优点附近的成本曲线较平缓，所以可以把箱规等实际条件与小幅成本损失一起比较。

平方根关系也给出参数敏感性：需求增加为原来的四倍，最优批量增加为两倍；持有费增加为四倍，最优批量减半。这是在其他参数与模型假设不变时的比较，不是所有真实库房都会遵循的经验定律。

何时下单，与每次订多少是两个问题

若供应商从下单到全部到货需要固定提前期 $L$ 年，在确定需求下，提前期内需要 $D L$ 件。可以在库存位置降至 $R = D L$ 时订货。库存位置指现有库存加在途订单，再减去未满足的需求；基本无缺货模型的最后一项为零。

本例固定提前期为五个工作日，提前期需求为 $40 \times 5 = 200$ 件。采用548件批量时，一个周期为13.7个工作日，提前期短于周期；现货降到200件便下单，五日后恰好用完旧货，新批次同时到达。若提前期长于一个周期，可能有多张在途订单，不能只看现货库存来重复触发下单，必须使用库存位置。

提前期固定且需求确定时，它改变下单时刻，却不改变上面的基本最优批量公式。若需求或提前期随机，200件就不能保证不缺货，需要明确服务水平、缺货成本与安全库存策略。

哪些变化需要重建成本函数

若仓库最多能存400件，则有额外约束 $Q \leq 400$ 。本例成本在400附近仍随批量增大而下降，所以受限最优批量为400件，相关成本3450元/年；不能继续选择548件再声称仓储约束已经处理。

若一次生产不是瞬时到货，而是以速度 $P > D$ 边生产边使用，生产一批 $Q$ 件要用 $Q / P$ 年；这段时间同时消耗 $D Q / P$ 件，最大库存仅为 $Q (1 - D / P)$ 。在相应的经济生产批量模型中，平均库存变为其一半，原EOQ中的持有项便须改变。

数量折扣会使采购项随批量改变，不能再删掉 $c D$ 。应在每个价格区间计算相应的持有费和最优候选，再与折扣起点比较总成本。缺货、易腐、季节需求或多产品共用容量也会改变状态与约束。先画出库存怎样随时间变化，再决定持有成本怎样积分，通常比直接套一个平方根公式更可靠。

来源与相关知识

Ford W. Harris在1913年的《How Many Parts to Make at Once》中分析了批量与费用的权衡。原文于1990年在《Operations Research》重刊，出版记录明确给出1913年的刊名与页码，见原文重刊页面。

MIT，Inventory and EOQ Models，2009：基本EOQ、有限生产速度、缺货与折扣模型。
Stanley B. Gershwin，Inventory，MIT 2.854，2016：批量经济、订货频率与持有成本。
Ford W. Harris，How Many Parts to Make at Once，1913；1990年重刊：模型的早期原始文献。
先修：导数、积分、优化；相关：成本收益与利润、拉格朗日乘数法、数学建模。