成本收益与利润

成本、收益与利润是分析生产决策的三种不同量。成本记录投入所耗的价值，总收益在销售模型中指销售收入，利润是收入减去所计入的成本。把三者写成数量的函数，可以回答保本、增加一份是否划算、产能有限时生产多少等问题。这里的“收益”不是自动等同于消费者获得的效用，也不是跨期投资的收益率。

一天多印一些，利润一定更多吗

设一个资料包印刷作业在一天内生产并售出 $q$ 份，单位份/日。用合成成本函数 $$C(q)=180+10q+\frac{1}{2}{q}^2,0\le q\le 60.$$ 其中 $C$ 的单位为元/日。180是本期已承诺、即使当天不生产也要承担的固定成本；$V(q)=10q+q^2/2$ 是随数量变化的可变成本。系数带有使各项成为同一成本单位的相应量纲。二次项是对高负荷时加班、耗损等递增成本的简化，不是所有工厂成本的经验定律。

先研究给定售价40元/份的订单：在所考察产能内，生产多少就可按此价售出多少。因此 $$R(q)=40q,\pi (q)=R(q)-C(q)=30q-\frac{1}{2}{q}^2-180.$$ $R$ 为总收益，$\pi$ 为利润，均以元/日计。生产30份时收入1200、成本930、利润270；生产40份时收入增加到1600，成本却增加到1380，利润降为220。增加销量与增加利润不是同一个目标。

若成本只包括实际支付的钱，得到的是相应的会计利润。若还计入自有场地、资金和劳动的机会成本，才是该口径的经济利润；零经济利润也不表示所有参与者都没有获得报酬。OpenStax §7.1解释了这两种成本口径。本例把 $C$ 当作已明确的决策成本，比较方案时始终保持同一口径。

保本看交点，最大利润看竖直差

保本条件是 $R(q)=C(q)$，即 $$q^2-60q+360=0⟹q=30\pm 6\sqrt{15}.$$ 两个根约为6.762和53.238。利润抛物线开口向下，因此在两根之间盈利、两根之外亏损。若限制整份生产，在当前售价与产能模型中，7至53份的利润为正。

图中的两处交点只表示利润为零。真正的最大利润是两条曲线之间最大的竖直距离，因为只有固定同一数量，才能把该数量的收入与成本相减。不能比较两条曲线到原点的距离，也不能把较高的收入点直接当作最佳生产点。

保本量与最优产量回答不同的问题。

配方可直接给出全区间的最优性证明： $$\pi (q)=270-\frac{1}{2}(q-30{)}^2\le 270.$$ 等号仅在 $q=30$ 成立，而30又在可行区间 $[0,60]$ 内，故它是唯一的连续最优产量。这个证明不仅找到一个驻点，还比较了所有可行数量。

边际量是在比较哪一小步

对平滑成本函数，边际成本为 $MC(q)=C^{\prime }(q)=10+q$。它表示在当前规模附近，数量再增加一点时，每单位增量带来的成本变化。总收益的导数为边际收益：本例 $MR(q)=R^{\prime }(q)=40$。

利润的变化率因此是 $${\pi }^{\prime }(q)=MR(q)-MC(q)=30-q.$$ 在30以下，增加少量产出使利润上升；在30以上，增加少量产出使利润下降。图中的水平边际收益线与上升边际成本线相交于30，反映的是这个符号转换。OpenStax §8.2从价格接受者的产量选择说明了边际比较。

边际交点须结合利润变化方向和可行范围判断。

一般可微利润在内部取得局部极大时，需要 $MR=MC$。这个必要条件还不是充分条件：利润可能有多个驻点，也可能在边界最大。本例 ${\pi }^{″}=-1<0$ 保证严格凹性。若机器最多印20份，则在整个 $[0,20]$ 上利润仍递增，最佳可行选择是20，边际收益此时仍大于边际成本。

平均成本则是 $AC(q)=C(q)/q=180/q+10+q/2$，只在 $q>0$ 定义。数量30时，平均成本31元/份，边际成本40元/份。利润可重新写成 $q[p-AC(q)]$，故30份各有平均9元的差额，共270元。平均成本的“平均”与边际成本的“新增”不能交换使用。

整份订单：用差额核对导数的建议

当数量必须是整数，增加一份的准确成本为 $$C(q+1)-C(q)=10+q+\frac{1}{2}.$$ 它比在左端算出的导数 $C^{\prime }(q)=10+q$ 多0.5元。这也解释了导数为什么只是局部增量的近似。

若售价改为40.4元，连续模型的最优点为30.4。利润仍严格凹，因此只需比较相邻整数30和31，再确认产能允许。增加第31份的成本为40.5元，却只增加40.4元收入，故31份比30份少赚0.1元；增加第30份仍多赚0.9元，最佳整数为30。若售价恰为40.5元，则30与31利润相同。不是所有整数规划都能如此取相邻点；这里可行的是一维连续变量及严格凹二次利润。

有亏损时，生产还是暂时停工

将售价降至20元，最优连续产量为10。此时收入200、可变成本150、总成本330，利润为 $-130$。若不生产，固定成本180仍须支付，利润为 $-180$。在这个短期比较中，生产10份虽然亏损，却比停工少亏50元，因为收入超过了可避免的可变成本。

判断的关键是哪些成本能够避免。若180元在决定开工之前可以完全避免，则“不进入生产”的成本可能是零，这已是另一套比较；若停工有额外费用，也应加入。固定于产量并不自动等于在所有决策时点都已经沉没。

在本例连续模型中，$p>10$ 时短期最优正产量为 $q=p-10$，还须限制不超过60；$p\le 10$ 时选择零产量。它解释了供需模型中上升供给关系的一种成本基础。不过，单个企业面对的给定价格与整个市场的需求曲线仍是不同对象。

售价也随销量下降时，要重算收益

现在改换交易条件：设一个统一定价销售者面对该资料包市场的全部逆需求 $p(q)=100-2q$，且成本仍为上述 $C(q)$。数量须在 $[0,50]$，以保证价格非负。销售者卖出所有单位都收同一个价格；多售一份时，为卖出它而降价，也会影响前面各份的收入。

于是 $$R(q)=q(100-2q)=100q-2q^2,MR(q)=100-4q.$$ 边际收益小于当前价格，正是已售各份也一起降价的结果；MIT 14.01 第11讲也用乘积求导区分统一定价者的价格与边际收益。利润变成 $$\pi (q)=90q-\frac{5}{2}{q}^2-180=630-\frac{5}{2}(q-18{)}^2.$$ 所以最优数量18，价格64，收入1152，成本522，利润630。只追求收入最大则会选 $q=25$、$p=50$，收入1250，但利润仅507.5。图中两条曲线的峰值位置不同。

先说明价格怎样决定，再求收入和利润；两种交易条件不能混用同一个边际收益。

这不是把价格接受者的30份结果推翻，而是改变了谁能影响售价的假设。收入与价格的关系可接着用需求价格弹性分析；生产者从交易中获得的剩余与利润的差别，见消费者剩余与生产者剩余。跨越多年比较项目时，还要处理付款时点，转入复利与贴现和连续现金流。

参考资料

• OpenStax，Principles of Microeconomics 3e，§7.1：显性成本、隐性成本与两种利润口径。
• OpenStax，同书 §8.2：总量比较、边际比较及短期停工。
• MIT 14.01，2023 年讲义摘要，第11讲：下降需求下的总收益与边际收益。
• 数学先修：导数、函数、优化。