置信区间

置信区间用样本给未知总体参数划出一段范围。其置信水平属于抽样方法：若同样抽样并建区间反复进行，按规定模型，约定比例的区间会覆盖固定的真参数；已经算出的某个区间本身不会再以该比例随机移动。

一次均值估计

设观测独立，来自正态总体，已知总体标准差 $\sigma =10$，样本量 $n=100$，算得样本均值 $\overline{x}=50$。由于 $\overline{X}$ 的标准差是 $10/\sqrt{100}=1$，标准正态分布中间约95%的区间为 $[-1.96,1.96]$，得到总体均值 $\mu$ 的95%置信区间 $$\overline{x}\pm 1.96\frac{\sigma }{\sqrt{n}}=50\pm 1.96=[48.04,51.96].$$ 计算前的随机区间 $[\overline{X}-1.96,\overline{X}+1.96]$ 覆盖固定的 $\mu$ 的概率约为95%；这是从 $P(-1.96\le (\overline{X}-\mu )/1\le 1.96)\approx 0.95$ 两边整理得到的。

区间宽度与假设

保持样本量不变，把置信水平提高，临界值变大，区间便更宽；保持置信水平不变，把样本量增加四倍，标准误减半，误差范围也减半。若总体标准差未知且样本来自正态总体，应以样本标准差和学生t分布构造相应区间，不能继续把 $\sigma =10$ 的已知情形照抄。

“95%置信”也不表示“真均值有95%概率落在已经观察到的 $[48.04,51.96]$ 中”。频率学派的参数在此模型下是固定数；区间的随机性来自尚未抽取的样本。它也不表示未来95%的单个观测值都在这段范围，后者要考虑单个观测的变异。若抽样有系统性偏差，即使区间很窄，重复覆盖率也可能偏离标称值。

参考资料

• 宾夕法尼亚州立大学 STAT 500：Confidence Intervals：构造和覆盖率解释。
• OpenStax《Introductory Statistics 2e》第8章：均值与比例的区间估计。