自适应控制

自适应控制在系统运行中利用观测到的数据调整控制器参数，使未知或变化的动力学仍能满足一定的控制目标。它与离线先估计一个模型再固定控制器不同：状态、控制和参数更新相互作用，必须一起分析稳定性。

最基本的问题不是“参数最后是否看起来接近真实值”，而是闭环信号是否有界、跟踪误差是否收敛，以及证明依赖什么条件。本条用一个未知常数系数的一阶系统，逐步构造模型参考自适应控制律。

未知参数与参考模型

实际系统为 $$\dot{x}=ax+u,$$ 其中未知的 $a$ 是有限常数，状态 $x$ 可以准确测得，输入系数已知且为一。给定有界、分段连续的参考输入 $r(t)$，希望状态跟随稳定参考模型 $${\dot{x}}_m=-x_m+r.$$ 参考模型的显式解为 $$x_m(t)=e^{-t}{x}_m(0)+{\int }_0^t{e}^{-(t-s)}r(s)ds.$$ 因此有界参考输入会产生有界参考状态。

若已知 $a$，取 $u=-ax-x+r$，则实际系统正好满足参考模型的同一方程。未知时，用在线估计 $\hat{a}(t)$ 代替： $$u=-\hat{a}x-x+r.$$ 定义跟踪误差和参数误差 $$e=x-x_m,\tilde{a}=\hat{a}-a.$$ 代入两条状态方程，有 $$\dot{e}=-e-\tilde{a}x.$$ 第一项会使误差衰减，第二项来自参数不准确。如何更新估计，正要针对这一项设计。

从李雅普诺夫函数构造更新律

选定学习率 $\gamma >0$，考虑 $$V=\frac{1}{2}{e}^2+\frac{1}{2\gamma }{\tilde{a}}^2.$$ 它同时衡量跟踪误差和参数误差。因为 $a$ 是常数，所以 $\dot{\tilde{a}}=\dot{\hat{a}}$，于是 $$\begin{array}{cc}\dot{V}& =e(-e-\tilde{a}x)+\frac{\tilde{a}}{\gamma }\dot{\hat{a}}\\ & =-e^2+\tilde{a}(-ex+\frac{\dot{\hat{a}}}{\gamma }).\end{array}$$ 把更新律选为 $$\dot{\hat{a}}=\gamma ex,$$ 交叉项正好消去，得到 $\dot{V}=-e^2\le 0$。更新律的正号来自这里的误差定义；若改用 $x_m-x$ 定义误差，必须相应改号。

这种借助参数误差项消去交叉项的方法，是模型参考自适应控制的典型构造。更一般系统的增益符号、参数化方式与稳定性条件见Yang的自适应控制讲义。

有界性与跟踪误差收敛的证明

由 $V(t)\le V(0)$，误差 $e$ 与参数误差 $\tilde{a}$ 有界。真实参数为有限常数，故 $\hat{a}$ 也有界。参考状态有界，因而 $x=e+x_m$ 有界。控制公式表明 $u$ 有界；在有限初值下，这些界也排除了该闭环多项式微分方程的有限时间逃逸。

沿轨迹积分可得 $${\int }_0^{\mathrm{\infty }}e(t{)}^{2}dt\le V(0).$$ 单凭平方可积，尚不能排除越来越窄的误差尖峰。这里还有 $\dot{e}=-e-\tilde{a}x$ 有界，故存在有限 $M$ 使 $|\dot{e}|\le M$。

若 $M=0$，误差恒定，平方可积迫使其为零。若 $M>0$ 且误差不趋于零，则存在 $\epsilon >0$ 和趋于无穷的时刻序列，使 $|e(t_j)|\ge \epsilon$。由导数界，在每个 $t_j$ 附近一段长度至少 $\epsilon /(2M)$ 的单侧区间内，误差绝对值至少为 $\epsilon /2$。可选取互不相交的无穷多个这种区间，迫使误差平方积分无穷大，矛盾。因此 $$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}e(t)=0.$$ 这个证明说明，在上述理想模型和有界参考条件下，未知常数参数不会阻止渐近跟踪。

数值案例与复算

取真实系数 $a=2$、参考 $r(t)=1$、学习率 $\gamma =2$，初值为 $$x(0)=\frac{1}{4},x_m(0)=0,\hat{a}(0)=0.$$ 参考模型解为 $x_m(t)=1-e^{-t}$。闭环的实际状态导数为 $$\dot{x}=(1-\hat{a})x+1.$$ 初时状态导数为 $1.25$，参考状态导数为一，误差导数为 $0.25$；更新率为 $2(1/4{)}^2=1/8$。这些初始值可用于检查程序是否把参数更新的符号写反。

曲线由文中三维常微分方程采用四阶Runge–Kutta积分得到，步长零点零零二。数值轨迹说明本例，渐近结论由前面的证明保证。

初始李雅普诺夫值为 $$V(0)=\frac{1}{2}{\left(\frac{1}{4}\right)}^2+\frac{(0-2{)}^2}{4}=\frac{33}{32}.$$ 因此 ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{2}dt\le 33/32$，且参数估计始终满足 $$|\hat{a}(t)-2|\le \sqrt{4V(0)}=\sqrt{33/8}.$$ 估计不必单调，跟踪误差也可以先增大再减小；单调不增的是这里特意构造的 $V$。

参数曲线与能量曲线使用分开的坐标轴。看到一条参数轨迹靠近真值，不等于所有参考输入都会使参数估计收敛。

= Python积分

代码返回 $(t,x,x_m,\hat{a})$ 的点列，仅复算这一确定初值案例。四阶Runge–Kutta对光滑解在有限区间具有四阶全局精度；它不自动保留连续系统的李雅普诺夫恒等式，应通过减小步长和核对误差检验数值结果。

Python 3

from math import isfinite

def simulate(dt=0.002, steps=7500):
    if not isinstance(steps, int) or steps < 0:
        raise ValueError("steps must be a nonnegative integer")
    if not isfinite(dt) or dt <= 0:
        raise ValueError("positive dt and nonnegative steps required")
    state = [0.25, 0.0, 0.0]  # x, reference state, parameter estimate
    out = [(0.0, *state)]
    def rhs(s):
        x, xm, estimate = s
        return [(1.0 - estimate) * x + 1.0,
                -xm + 1.0, 2.0 * (x - xm) * x]
    def shifted(s, k, scale):
        return [a + scale * b for a, b in zip(s, k)]
    for j in range(steps):
        k1 = rhs(state)
        k2 = rhs(shifted(state, k1, dt / 2))
        k3 = rhs(shifted(state, k2, dt / 2))
        k4 = rhs(shifted(state, k3, dt))
        state = [a + dt * (b + 2*c + 2*d + e) / 6
                 for a, b, c, d, e in zip(state, k1, k2, k3, k4)]
        out.append(((j + 1) * dt, *state))
    return out

trajectory = simulate()
assert trajectory[0] == (0.0, 0.25, 0.0, 0.0)
assert len(trajectory) == 7501
fine = simulate(0.001, 15000)
assert max(abs(a - b) for a, b in zip(trajectory[-1], fine[-1])) < 1e-6

每一步处理固定维数状态，执行 $N$ 步耗时 $O(N)$，保存整条轨迹占 $O(N)$ 空间；只保留当前点可降为常数空间。学习率改为 $\gamma =1$ 时必须同时修改更新方程和李雅普诺夫函数中的参数权重，不能只替换图上的标注。

跟踪收敛与参数收敛

如果参考输入为零，且初始 $x=x_m=0$，那么无论把 $\hat{a}(0)$ 设为什么，状态和误差都恒为零，更新律也恒为零。即使真实参数为二、估计一直为负一，跟踪仍然完美。没有运动数据便不能从中辨认未知参数。

因此 $e\to 0$ 不推出 $\hat{a}\to a$。参数辨识通常还需要足够丰富的回归信号，例如持续激励及相应的闭环条件。参考模型、输入增益符号和可用测量也必须满足设计要求。

本条的证明依赖参数恒定、没有外加扰动、状态准确可测和输入不受饱和限制。若 $a=a(t)$，则 $\dot{\tilde{a}}=\dot{\hat{a}}-\dot{a}$，会出现额外项；若有测量噪声，持续积分可能使参数漂移。投影、泄漏修正、死区等方法可以调整鲁棒性，但需要重新证明它们能保证的有界性或误差范围。