调和共轭函数

调和共轭函数（harmonic conjugate）指与一个实调和函数配成全纯函数实部、虚部的另一实函数。若 $u+iv$ 在区域内全纯，就称 $v$ 为 $u$ 的调和共轭。这个次序有符号含义：交换实部和虚部时，通常应同时改变其中一个符号。

因为柯西—黎曼方程要求 $$v_x=-u_y,v_y=u_x,$$ 构造共轭就是寻找满足这两个偏导条件的函数。局部只需 $u$ 调和；要在整个有孔区域获得单值共轭，还需检查沿闭路的积分。

在小矩形内的完整构造

设 $u$ 为实值 $C^2$ 函数，满足 $u_{xx}+u_{yy}=0$。在定义域内取一个小矩形和基点 $(x_0,y_0)$，令 $$\begin{array}{cc}v(x,y)& =-{\int }_{x_0}^x{u}_y(t,y_0)dt\\ & +{\int }_{y_0}^y{u}_x(x,s)ds+C.\end{array}$$ 先沿水平边再沿竖直边积分。对 $y$ 求导立即得 $v_y=u_x$。对 $x$ 求导，并利用调和方程： $$\begin{array}{cc}{v}_x& =-u_y(x,y_0)+{\int }_{y_0}^y{u}_{xx}(x,s)ds\\ & =-u_y(x,y_0)-{\int }_{y_0}^y{u}_{yy}(x,s)ds\\ & =-u_y(x,y).\end{array}$$ 因此两个条件都成立，实部虚部均实可微，$u+iv$ 全纯。由全纯函数实虚部的调和性，$v$ 也调和。这里给出的积分公式证明了局部存在性，不只是在猜一个恰好符合的虚部。

若两个共轭 $v_1,v_2$ 都在同一个连通区域存在，它们之差的两个偏导都为零，故只差一个实常数。指定一个点的共轭值就消去这个自由度。

多项式实部的逐步积分

取 $u=x^2-y^2+2x$。其拉普拉斯算子为 $2-2=0$。先由 $v_x=-u_y=2y$ 对 $x$ 积分： $$v=2xy+C(y).$$ 再代入 $v_y=u_x=2x+2$，得到 $C^{\prime }(y)=2$，所以 $$v=2xy+2y+C_0.$$ 相应全纯函数是 $z^2+2z+i{C}_0$。若规定 $v(0,0)=0$，就取 $C_0=0$。在 $(1,1)$，$u=2$、$v=4$，直接计算 $(1+i{)}^2+2(1+i)=2+4i$ 可以核对。

变式。 对 $u=e^x\cos y$，有 $v_x=e^x\sin y$，积分给 $v=e^x\sin y+C(y)$；第二个条件迫使 $C^{\prime }(y)=0$，故共轭为 $e^x\sin y$ 加实常数。这恢复了复指数的实虚部关系。

从局部到全局的闭路条件

把偏导条件合写为微分形式 $$dv=-u_{y}dx+u_{x}dy.$$ 调和方程说明右端是闭形式。若区域单连通，Green定理与路径变形保证其沿闭路积分为零，路径积分于是与路线无关，能够构造全局单值的 $v$。在一般区域，必要且充分的额外条件就是所有分段光滑闭路的这一积分均为零。

考虑去心平面上的 $u(z)=\log |z|=\frac{1}{2}\log (x^2+y^2)$。它在零以外调和，但在逆时针单位圆上，取 $x=\cos t,y=\sin t$，得到 $$-u_{y}dx+u_{x}dy=dt.$$ 一周积分为 $2\pi$，不为零。如果存在全局单值 $v$，左端作为 $dv$ 的闭路积分应为零，矛盾。因此它只有局部辐角作为共轭，没有整个去心平面的单值共轭。

对实部log模z，候选共轭是辐角。圆周积分的2π是全局拼接障碍，并非局部柯西黎曼方程失效。

沿一条射线切开平面后，可以连续选择一个辐角分支，得到局部或切开区域的对数。这个例子说明：调和性负责局部可解，定义域拓扑和闭路周期负责能否全局拼成单值函数。

参考文献

Jiří Lebl，Guide to Cultivating Complex Analysis，1.9，2026-07-11，§7.1.1（调和函数作为全纯函数实部、单连通共轭存在性），§4.1（对数分支）。