谱方法

谱方法（spectral method）用一组覆盖整个计算区域的基函数近似未知函数，再确定这些基函数的系数。常见选择包括周期区间上的 Fourier 基和有限区间上的正交多项式。对光滑解，系数常迅速衰减，增加少量模式就可能明显提高精度；对不连续解，全球基函数也会把局部跳跃传播成振荡。

把一个边值问题拆成几种波

考虑 $[0, 2 π]$ 上的周期问题 $- u^{″} (x) = \sin 2 x + \frac{1}{2} \cos 3 x, \int_{0}^{2 π} u (x) d x = 0.$ 因为 $- (\sin k x)^{″} = k^{2} \sin k x$ ，每个频率只需除以对应的平方，得到 $u (x) = \frac{1}{4} \sin 2 x + \frac{1}{18} \cos 3 x .$ 代回可分别得到 $\sin 2 x$ 和 $\frac{1}{2} \cos 3 x$ ，平均值也为零。这个小例子展示了谱方法的核心：微分算子在合适基下变得简单，而不是先在许多相邻点之间作差分。

周期右端和解的 Fourier 模式对比，较高频率经 Poisson 逆算子后衰减更多 — 右端含频率二和三，解中相应系数分别除以四和九。图示同一周期上的 f 与 u，纵轴尺度相同。

Fourier–Galerkin 离散

对周期平方可积函数，定义复 Fourier 系数 ${\hat{f}}_{k} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} f (x) e^{- i k x} d x, k \in ℤ .$ 取有限维空间 $V_{N} = span {e^{i k x} : | k | \leq N}$ 。Galerkin 条件要求残差与该空间中的测试函数正交。对 $- u^{″} = f$ ，这给出 $k^{2} {\hat{u}}_{k} = {\hat{f}}_{k}, 0 < | k | \leq N .$ 零频率要求 ${\hat{f}}_{0} = 0$ ，这是存在周期解的相容条件：积分方程左边得到 $- u^{'} (2 π) + u^{'} (0) = 0$ ，所以右边平均必须为零。常数又在微分算子的核中，需额外指定 ${\hat{u}}_{0}$ ，本例规定为零。若右端改成 $1 + \sin 2 x$ ，周期问题无解，不能将零频率简单删去后宣称解出了原方程。

对实值函数有 ${\hat{f}}_{- k} = \overline{{\hat{f}}_{k}}$ ，因此也可使用等价的正弦余弦实基。教材中的三角插值和 Fourier 离散说明了这两种表示的关系。^[1]

截断误差的完整估计

用归一化范数 $‖ u ‖_{2}^{2} = (2 π)^{- 1} \int_{0}^{2 π} | u |^{2} d x$ 。Fourier 正交投影 $P_{N} u$ 只保留 $| k | \leq N$ 的系数。Parseval 等式给出 $‖ u - P_{N} u ‖_{2}^{2} = \sum_{| k | > N} | {\hat{u}}_{k} |^{2} .$ 若周期函数具有有限的 $s$ 阶 Sobolev 范数， $s > 0$ ，则在被删掉的模式上有 $| k |^{2 s} \geq (N + 1)^{2 s}$ 。逐项乘除这个权重便得 $‖ u - P_{N} u ‖_{2}^{2} \leq (N + 1)^{- 2 s} \sum_{| k | > N} | k |^{2 s} | {\hat{u}}_{k} |^{2} \leq (N + 1)^{- 2 s} ‖ u ‖_{H^{s}}^{2} .$ 取平方根得到代数收敛界。若解析延拓进一步保证 $| {\hat{u}}_{k} | \leq C e^{- σ | k |}$ ，尾和才给指数级收敛。光滑性和区域的周期衔接都是条件；“谱精度”并不表示所有函数都按指数速度收敛。

对当前 Poisson 例子， $N = 2$ 时漏掉 $\cos 3 x / 18$ 。由于 $‖ \cos 3 x ‖_{2} = 1 / \sqrt{2}$ ，归一化误差恰为 $1 / (18 \sqrt{2}) \approx 0.0392837101$ ； $N \geq 3$ 时所有非零模式都已保留，精确算术下误差为零。这是有限模态的特殊精确性。

正交投影、配点与边界的区别

Galerkin 法通过积分正交条件选系数；配点谱法通过若干节点上的残差为零选系数。对某些线性常系数周期问题，它们可以给出相同代数结构，但对非线性乘积或近似积分未必相同。伪谱方法经常在节点上计算非线性项，再变换回系数，需要处理混叠。

非周期区间通常改用 Chebyshev 或 Legendre 基，并把边界条件纳入试探空间、约束方程或弱形式。若把非周期函数硬接成周期函数，端点跳跃会产生 Gibbs 现象：提高阶数能缩窄振荡区域，却不消除跳跃附近的固定相对过冲。间断问题可能更适合分域谱法、滤波或局部高阶方法。

一个可运行的有限模态解算器

以下代码接受有限个非零整数频率的正弦、余弦系数，解零均值周期 Poisson 问题，并返回求值函数。这里不通过采样估计系数，输入本身就是已知模态；构造成本为 $O (M)$ ，每次求值成本为 $O (M)$ ，其中 $M$ 是输入模式数。FFT 求系数是另一项计算，不能将本实现称为 FFT 解算器。

Python 3

import math


def periodic_poisson_modes(sines, cosines):
    def prepare(coefficients):
        result = []
        for k, value in coefficients.items():
            if not isinstance(k, int) or k <= 0:
                raise ValueError("positive integer frequencies required")
            value = float(value)
            if not math.isfinite(value):
                raise ValueError("finite coefficients required")
            result.append((k, value / (k * k)))
        return result

    sine_modes, cosine_modes = prepare(sines), prepare(cosines)

    def solution(x):
        x = float(x)
        if not math.isfinite(x):
            raise ValueError("finite x required")
        return (sum(c * math.sin(k*x) for k, c in sine_modes)
                + sum(c * math.cos(k*x) for k, c in cosine_modes))
    return solution


u = periodic_poisson_modes({2: 1}, {3: 0.5})
print(u(0))           # 1/18 = 0.05555555555555555
print(u(math.pi/4))   # 1/4 - sqrt(2)/36 = 0.2107162899340807

有解变式把右端改成 $3 \sin x - 2 \cos 4 x$ 。分别除以 $1^{2}$ 和 $4^{2}$ ，零均值解为 $3 \sin x - \cos 4 x / 8$ 。代入一次即可检查符号；这一验证比只看一条平滑的数值曲线更可靠。

参考资料

↑ Tobin A. Driscoll, Richard J. Braun. Fundamentals of Numerical Computation: Trigonometric interpolation，周期模式与三角插值。

[fnc-1] Tobin A. Driscoll, Richard J. Braun. Fundamentals of Numerical Computation: Trigonometric interpolation，周期模式与三角插值。

[1]