贷款摊还

贷款摊还（loan amortization）是把一笔债务分期偿还的过程。每次付款通常包含两部分：支付本期利息，以及减少尚未归还的本金。摊还表逐期记录这两部分，使“还了多少”和“还欠多少”可以对得上。

下面采用一个合成算例：期初借入 2,400 元，分十二个月在月末偿还，固定月利率为 1%，没有费用和其他现金流。这是用于看清递推的假设参数。先研究每月付款相同的等额本息，再比较每月归还本金相同的等额本金。

一次付款前后，余额怎样变化

令 $B_{k - 1}$ 是第 $k - 1$ 次付款刚完成后的本金余额， $i$ 是月利率，第 $k$ 次付款为 $R_{k}$ 。本月先计利息 $i B_{k - 1}$ ，月末再付款，因此

$B_{k} = (1 + i) B_{k - 1} - R_{k}, B_{0} = P .$

其中 $P$ 是初始借款。相应的利息、本金偿还额为

$I_{k} = i B_{k - 1}, Q_{k} = R_{k} - I_{k}, B_{k} = B_{k - 1} - Q_{k} .$

$I_{k}$ 是本期使用尚未归还本金的利息， $Q_{k}$ 才是本金减少量。把整个付款额都从原本金减去，会漏掉利息；每期都按最初的 $P$ 计算利息，则与这里的余额计息模型不同。

每月付款后的贷款余额从二千四百元逐步降到零；同图比较等额本息和等额本金，等额本息在前期归还本金较慢 — 图中的点都是付款刚完成后的余额。它们不包含下一个月尚未产生的利息。

等额本息：从终点余额为零求月付款

设每月付款固定为 $R$ 。先展开前几期：

$B_{1} = P (1 + i) - R,$ $B_{2} = P (1 + i)^{2} - R (1 + i) - R .$

重复这个过程，第 $n$ 次付款后的余额为

$B_{n} = P (1 + i)^{n} - R [1 + (1 + i) + \dots + (1 + i)^{n - 1}] .$

要求刚好还清，即 $B_{n} = 0$ ，并利用年金的有限等比和，在 $i \neq 0$ 时得到

$R = P \frac{i (1 + i)^{n}}{(1 + i)^{n} - 1} = P \frac{i}{1 - (1 + i)^{- n}} .$

也可以从现值求得：未来的 $n$ 笔付款贴现后恰好等于 $P$ ，即 $P = R [1 - (1 + i)^{- n}] / i$ 。两种推导一前一后，提供了相互核对的方法。若 $i = 0$ ，直接取 $R = P / n$ 。

本例 $P = 2400$ 、 $i = 0.01$ 、 $n = 12$ ，因此

$R = 2400 \frac{0.01}{1 - (1.01)^{- 12}} \approx 213.237092828 元 .$

以下保留未舍入的 $R$ 在内部演算，表格仅显示到分；最后一期余额在精确模型中为零。OpenStax：摊还与年金现值

月份	月付款	利息	归还本金	付款后余额
1	213.24	24.00	189.24	2,210.76
2	213.24	22.11	191.13	2,019.63
3	213.24	20.20	193.04	1,826.59
12	213.24	2.11	211.13	0.00

第一月的 24 元利息来自 $2400 \times 0.01$ 。第二月利息为 $2210.762907172 \times 0.01 \approx 22.107629072$ 元，比第一月少；月付款不变，少付的利息转化为多还的本金。

为什么本金部分越来越多

由 $Q_{k} = R - i B_{k - 1}$ 以及 $B_{k} = B_{k - 1} - Q_{k}$ ，可逐步化简：

$Q_{k + 1} = R - i B_{k} = R - i (B_{k - 1} - Q_{k}) = Q_{k} + i Q_{k} = (1 + i) Q_{k} .$

所以在固定正利率和精确等额付款模型中，本金偿还额构成公比为 $1 + i$ 的等比数列；利息额逐月减少。等额本息的“等额”指两部分相加后的付款额，不是指每月利息或本金分别相等。

十二根等高付款柱各为约二百一十三点二四元，柱底利息部分从二十四元逐渐下降，本金部分相应增加 — 每根柱分成利息和本金两部分。柱高不变，而分界线移动，显示固定付款内部的变化。

把每期的 $R = I_{k} + Q_{k}$ 相加，并用 $\sum Q_{k} = P$ ，得到总利息

$\sum_{k = 1}^{n} I_{k} = n R - P .$

本例为 $12 R - 2400 \approx 158.845114$ 元。这个合计也应等于摊还表各期利息相加的结果。

还到一半时，怎样检查剩余债务

第 $k$ 次付款后，还有 $n - k$ 笔相同付款。站在时点 $k$ 看，它们是一组普通年金，因此在 $i \neq 0$ 时

$B_{k} = R \frac{1 - (1 + i)^{- (n - k)}}{i} .$

它应与从起点递推得到的式子相等：

$B_{k} = P (1 + i)^{k} - R \frac{(1 + i)^{k} - 1}{i} .$

零利率时余额直接为 $B_{k} = P - k R = (n - k) R$ 。前一个式子向未来看，后一个式子从过去累计。两者一致，是检查电子表格有没有错移一期的有效方法。若恰在一次付款后额外归还本金 $E$ ，余额先变为 $B_{k} - E$ ；此后是保持付款额缩短期限，还是保持期限重新计算付款额，需要再指定规则，不能仅凭原公式推断合同安排。

等额本金为何有不同的付款曲线

等额本金规定每月归还本金 $P / n$ 。第 $k$ 月之前的余额为 $P - (k - 1) P / n$ ，所以月付款为

$R_{k} = \frac{P}{n} + i (P - \frac{(k - 1) P}{n}) .$

本例每月本金为 200 元，第一月付 $200 + 24 = 224$ 元，第二月付 $200 + 22 = 222$ 元，最后一个月付 $200 + 2 = 202$ 元。付款逐月减少，总利息是

$i \frac{P}{n} \sum_{j = 1}^{n} j = i P \frac{n + 1}{2} = 156 元 .$

等额本息的月付款保持约二百一十三点二四元，等额本金的月付款从二百二十四元每月减少两元到二百零二元 — 两种方案初始借款、利率、期限相同，归还本金的时点不同，因此余额曲线和利息合计也不同。

在本例中，等额本金前期归还本金更多，总利息略少；这并不把所有真实借款方案排成统一优劣顺序。数学比较须固定期限、利率和费用口径，也要说明比较的是月付款、总利息，还是在给定贴现规则下的现值。

舍入与负摊还

如果每次真的只付 213.24 元，递推中的 $R_{k}$ 就应取 213.24，而不能继续使用未舍入的数值。逐期利息若也按分入账，还须逐次舍入；最终一期通常需要按实际剩余余额调整。表格每一列的展示舍入不应反过来被当成精确恒等式。

还款低于本期利息时， $R_{k} < i B_{k - 1}$ ，得到 $Q_{k} < 0$ 、 $B_{k} > B_{k - 1}$ ，称为负摊还。这可以直接从收支关系看出：付款没有覆盖全部利息，余额仍在增加。是否允许未付利息计入余额，以及如何收取费用，必须由具体模型或合同另行规定。

参考资料

OpenStax：Principles of Finance，Loan Amortization。
OpenStax：Contemporary Mathematics，The Basics of Loans。
Ronald J. Harshbarger、James J. Reynolds，Mathematical Applications for the Management, Life, and Social Sciences，第 10 版，第 6 章。