年金

年金（annuity）在金融数学中指按等间隔发生的一系列等额款项。这里的“年”不要求每年一次：每月、每季的等额支付也属于年金模型。先确定每次支付的时点，再将各笔金额换算到同一时点，就能从有限和推导出年金公式。

设一个合成教学账户连续四个季度在季末各存入 600 元，每季度按原有余额的 2% 计息，并且先计息、再存款。我们要计算第四次存款刚完成时的余额。第一次存入的钱经过后三季计息，最后一次存入的钱还没产生利息；这一区别决定了每项的指数。

按时间轴逐笔计算

以第零季度末为今天，四笔存款发生在 $1, 2, 3, 4$ 时点，评价时点为 $4$ 。它们在时点四分别变成

$600 (1.02)^{3}, 600 (1.02)^{2}, 600 (1.02), 600.$

四个季度末各存入六百元，第一笔向第四季度累积三期，第二笔两期，第三笔一期，第四笔零期 — 看清最早一笔和最晚一笔的指数，能够检查求和式有没有多算或少算一期。

相加得到

$F_{4} = 636.7248 + 624.24 + 612 + 600 = 2472.9648 元 .$

也可以逐期更新余额。第一期末为 600 元；第二期先把 600 元变成 612 元，再加新存款，得到 1,212 元；第三期是 $1212 \times 1.02 + 600 = 1836.24$ 元；第四期是 $1836.24 \times 1.02 + 600 = 2472.9648$ 元。逐笔累积与余额递推，描述的是同一账户。

普通年金的终值公式

设每期末的付款额为 $C$ ，固定每期利率为 $i > - 1$ ，期数 $n$ 为正整数。普通年金的款项发生在 $1, \dots, n$ 时点，终值是在时点 $n$ 的等值总金额：

$F_{n} = C [1 + (1 + i) + \dots + (1 + i)^{n - 1}] .$

令方括号中的和为 $S$ 。两边乘以 $1 + i$ ，则原有各项向前移一位。作差后中间项全部抵消：

$(1 + i) S - S = (1 + i)^{n} - 1.$

当 $i \neq 0$ 时，得到

$F_{n} = C \frac{(1 + i)^{n} - 1}{i} .$

当 $i = 0$ 时直接由原始求和式得到 $F_{n} = n C$ ，不用代入一个分母为零的式子。这也是公式在 $i \to 0$ 时的连续极限。

第一到第四笔六百元存款在第四季的终值柱分别约为六百三十六点七二、六百二十四点二四、六百一十二和六百，原始存款与额外利息分层显示 — 柱高表示每笔款项在同一评价时点的贡献。四笔原始存款合计 2,400 元，其余 72.9648 元来自计息。

如果问题改成“固定 $n$ 和 $i$ ，希望期末达到 $F$ ，每次等额存多少”，在 $i \neq 0$ 时只需反解： $C = F i / [(1 + i)^{n} - 1]$ ；零利率时为 $C = F / n$ 。这一步没有改变支付时点，只是把未知数从终值换成每期金额。

现值：今天的一笔钱等于哪些未来款项

各期末的 $C$ 分别贴现到时点零：

$V_{0} = \frac{C}{1 + i} + \frac{C}{(1 + i)^{2}} + \dots + \frac{C}{(1 + i)^{n}} .$

把上一节终值除以 $(1 + i)^{n}$ ，也会得到同一个和，因此

$V_{0} = C \frac{1 - (1 + i)^{- n}}{i}, i \neq 0.$

本例的现值为 $600 [1 - (1.02)^{- 4}] / 0.02 \approx 2284.637219$ 元。将这个值在时点零放进账户，每季计息后取走 600 元，四次取款后余额应为零。这个倒向检查说明现值与终值并不是两条互不相干的记忆公式：它们之间满足 $F_{n} = V_{0} (1 + i)^{n}$ 。

实际计算可先检查零利率极限和款项数，再核对前后一笔的指数。OpenStax：普通年金与期初年金

期初支付和递延支付：整条时间轴移动

期初年金把同样的 $n$ 笔款项提前一期，发生在 $0, 1, \dots, n - 1$ 。若仍在时点零评价现值、时点 $n$ 评价终值，每一笔都比普通年金多一个因子 $1 + i$ ，所以

$V_{0}^{d u e} = (1 + i) V_{0}, F_{n}^{d u e} = (1 + i) F_{n} .$

本例期初年金的时点四终值为 $2522.424096$ 元。在正利率下，提前支付增加同一评价时点的价值；零利率下不变，负利率下则减少。这个结论来自增长因子，不能脱离利率符号笼统说“期初的一定更大”。

三条对齐时间轴显示四笔普通年金在一二三四季度、期初年金在零一二三季度、递延两期年金在三四五六季度发生 — 每行都有四笔款项。提前或推迟的是整组时点，现值仍统一算在时点零。

递延年金还须明确首笔付款时间。若普通年金整组推迟 $m$ 期，首笔在 $m + 1$ ，末笔在 $m + n$ ，则时点 $m$ 的现值仍是普通年金因子乘以 $C$ ；再贴现 $m$ 期得到

$V_{0}^{d e f e r r e d} = (1 + i)^{- m} C \frac{1 - (1 + i)^{- n}}{i} .$

这一闭式取 $i \neq 0$ ；零利率时款项推迟不改变等值金额，现值仍为 $n C$ 。例如推迟两季意味着付款发生在第三、四、五、六季末，而不是第二季就开始。本例现值约为 $2195.921972$ 元。

永续年金与不等额现金流

若期末支付一直持续、 $C > 0$ 且固定 $i > 0$ ，则 $(1 + i)^{- n} \to 0$ ，得到永续年金的现值

$V_{0} = \frac{C}{i} .$

有限现值来自远期款项不断被贴现，不表示付款次数有限。若 $i = 0$ ，正额款项的和发散；本公式也不适用于把期限有限的款项误当作永续支付。

当每笔金额不同、利率逐期改变，或者支付间隔不规则时，回到逐笔求和。若第 $k$ 期净款项为 $C_{k}$ ，从零到第 $k$ 期的增长因子为 $\prod_{j = 1}^{k} (1 + i_{j})$ ，现值就是

$V_{0} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{C_{k}}{\prod_{j = 1}^{k} (1 + i_{j})} .$

等额、等间隔、固定利率是把这个和压缩为年金公式的条件。一个真实合同是否符合这些条件，需要从具体支付约定判断。贷款摊还把同一现值关系用于逐期清偿；连续现金流则研究流率随时间连续变化时的积分。

参考资料

OpenStax：Principles of Finance，Annuities。
OpenStax：Contemporary Mathematics，Methods of Savings。
Ronald J. Harshbarger、James J. Reynolds，Mathematical Applications for the Management, Life, and Social Sciences，第 10 版，第 6 章。