路径连通性

空间中两点即使距离很近，也未必能在空间内部画出一条连续路线把它们接起来。设 $X$ 为拓扑空间，一条从 $x$ 到 $y$ 的路径是连续映射 $\gamma :[0,1]\to X$，满足 $\gamma (0)=x$、$\gamma (1)=y$。若任意两点之间都有路径，就称 $X$ 路径连通。参数 $t\in [0,1]$ 只负责标记行进过程，不一定代表物理时间或匀速运动。

一条直线段就足够的情形

平面上的实心圆盘 $D=\{z\in {ℝ}^2:\Vert z\Vert \le 1\}$ 是路径连通的。对任意 $x,y\in D$，定义 $\gamma (t)=(1-t)x+ty$。它连续，并由三角不等式得 $$\Vert \gamma (t)\Vert \le (1-t)\Vert x\Vert +t\Vert y\Vert \le (1-t)+t=1.$$ 因此整条线段都留在圆盘内。这样的集合称为凸集；每个凸集都可用同一公式证明路径连通。反过来不成立：圆环带虽然有洞，两点仍能绕洞连接，却不是凸集，某些端点间的直线段会穿过洞。

路径分量

定义 $x\sim y$ 当且仅当存在从 $x$ 到 $y$ 的路径。常值路径说明 $x\sim x$；把 $\gamma (t)$ 改为 $\gamma (1-t)$ 可反向行走；若一条路径从 $x$ 到 $y$，另一条从 $y$ 到 $z$，可在 $t\le 1/2$ 走第一条、$t\ge 1/2$ 走第二条，接合点一致使所得分段函数连续。故 $\sim$ 是等价关系；它的各等价类称路径分量。

例如 $X=(-2,-1)\cup (1,2)$ 作为实数直线的子空间，左右两个开区间各自路径连通，却无法用一条留在 $X$ 的连续路径互相连接。若真有从左到右的路径，连续函数的介值定理迫使它取值 0，而 $0\notin X$。因此 $X$ 恰有两个路径分量。

一个与凸集相对照的例子是去掉原点的平面 ${ℝ}^2\setminus \{(0,0)\}$。任取两点，可先沿各自射线移到单位圆，再沿圆弧从一条射线转向另一条，最后沿射线走到终点；全过程不碰原点。因此它路径连通，却并不凸：点 $(1,0)$ 与 $(-1,0)$ 之间的直线段恰好穿过被删掉的原点。读者可把上述三段路线写成分段连续函数；每个接点两段路径具有相同端点，因此组合后仍连续。

与普通连通性的关系

路径连通一定蕴含连通。假设反而能把路径连通的 $X$ 分成两个不相交、非空、相对开集 $U,V$，且 $X=U\cup V$。从 $U$ 任选 $x$、从 $V$ 任选 $y$，取连接它们的路径 $\gamma$。连续性使 ${\gamma }^{-1}(U)$ 与 ${\gamma }^{-1}(V)$ 成为 $[0,1]$ 中两个不相交、非空、开且覆盖整个区间的集合，这违背区间的连通性。这里真正起作用的是连续映射保留连通性，而不是空间在图上看起来“一块”。

逆命题一般不成立。经典例子是闭合的拓扑学家正弦曲线：把 $\{(x,\sin (1/x)):0<x\le 1\}$ 的闭包取在平面内。曲线部分是连通的，其闭包仍连通；闭包还包含竖段 $\{0\}\times [-1,1]$。假设有一条路径从竖段出发到曲线部分，令 $t_0$ 为路径横坐标最后一次为 0 的时刻。此后横坐标为正并趋向 0，连续性又迫使它经过任意足够小的正数；因而纵坐标 $\sin (1/x)$ 在 $t\downarrow t_0$ 时会反复取到 1 与 $-1$，不能趋向路径在 $t_0$ 的纵坐标，矛盾。因而“连通”比“路径连通”弱。在欧几里得空间的开子集等常见的良好情形，两者常一致，不能由这些熟悉图形推广到任意拓扑空间。

路径只要求作为映射连续，并不规定长度必须有限、曲线必须光滑，或同一对端点只有一条路径。在圆环带中，向左绕孔和向右绕孔可给出两条不同的连接方式，但路径连通性只问至少有一条。若研究路径能否连续变形为另一条，就进入更深的拓扑问题；本篇的定义本身并不区分这两种绕法。

参考资料

• MIT OpenCourseWare，Introduction to Topology，Connected Spaces 补充讲义。
• University of Illinois Urbana-Champaign，Planning Algorithms，Connected vs. path connected。