辅助统计量

辅助统计量（ancillary statistic）是在指定模型中分布不随未知参数改变的统计量。它仍是随机的，也可能有助于检查模型或进行条件推断；“辅助”不表示其观测值没有用途。必须先说明哪些量未知，因为同一个统计量对一个参数可以辅助，对扩大的参数向量却未必辅助。

设两个独立读数 $X_1,X_2\sim N(\mu ,4)$，未知量只有共同位置 $\mu$。两数之差 $$D=X_1-X_2\sim N(0,8)$$ 不依赖 $\mu$，所以是这个位置模型的辅助统计量。共同位置被相减消去，读数间的随机差异则保留下来。

平移后的同一差值

取教学读数 $(5,9)$，均值 $M=7$、差值 $D=-4$。两读数都增加十，变成 $(15,19)$，均值变成十七，而差仍为负四。

箭头连接的是同一对读数的平移。示意说明位置被相减消去；辅助性还需用整个抽样分布确认。

把模型写成 $X_i=\mu +\sigma Z_i$，其中 $Z_i$ 独立标准正态、已知 $\sigma =2$，则 $D=\sigma (Z_1-Z_2)$。独立正态之差均值为零、方差为二，所以得到前面的 $N(0,8)$。这证明的是对每个 $\mu \in ℝ$ 的分布相同，不只是两组观察值碰巧相减相等。

一般定义是：对模型 $\{P_{\theta }\}$，统计量 $A(X)$ 辅助，当且仅当其诱导分布 $P_{\theta }^A$ 对所有参数都相同。它是一个边缘分布条件，不自动断言它与样本均值或其他统计量独立。

正态模型中均值与差的独立证明

对一般已知 $\sigma >0$，令 $M=(X_1+X_2)/2$、$D=X_1-X_2$。反变换为 $$X_1=M+D/2,X_2=M-D/2,$$ Jacobian行列式的绝对值为一。平方项展开为 $$(x_1-\mu {)}^2+(x_2-\mu {)}^2=2(m-\mu {)}^2+\frac{d^2}{2}.$$ 因此联合密度恰好分解为 $$\begin{array}{cc}{f}_{M,D}(m,d)& =\frac{1}{\sqrt{\pi }\sigma }{e}^{-(m-\mu {)}^2/{\sigma }^2}\\ & \times \frac{1}{2\sqrt{\pi }\sigma }{e}^{-d^2/(4{\sigma }^2)}.\end{array}$$ 两因子分别是 $N(\mu ,{\sigma }^2/2)$ 与 $N(0,2{\sigma }^2)$ 的密度，所以 $M,D$ 独立。这是对正态模型的直接计算；并不是从“差是辅助统计量”这一句话单独推出独立性。巴苏定理给出另一种在完备充分条件下证明独立性的办法。

主例中，$M\sim N(\mu ,2)$，而差的抽样分布为 $N(0,8)$。例如在该模型下，差的绝对值至少为四的概率为 $$2\Phi (-\frac{4}{\sqrt{8}})\approx 0.1573,$$ 其中 $\Phi$ 是标准正态分布函数。这个尾概率不随共同位置改变，不能拿它来区分 $\mu =0$ 和 $\mu =10$。

参数扩大时的变化

如果把方差也改为未知，$D$ 的方差是 $2{\sigma }^2$，其分布已依赖参数向量 $(\mu ,{\sigma }^2)$。此时它不是完整两参数模型的辅助统计量，尽管它的分布仍不依赖位置坐标。

变式。 保持方差已知，但改为 $\sigma =3$，则 $D\sim N(0,18)$，仍对未知位置辅助；不能继续套用方差八。辅助性是在一个固定模型内考察参数无关性，不要求更换已知实验精度后也有同一分布。

辅助性不保证任意独立性

取两次独立均匀读数 $X_i\sim U(\mu ,\mu +1)$。极差 $R=|X_1-X_2|$ 仍因平移消去而具有参数无关的分布。可是，给定 $R=r\in (0,1)$ 后，均值只能落在 $$\mu +\frac{r}{2}\le M\le \mu +1-\frac{r}{2}$$ 之内，而且条件密度在该区间均匀。这个区间随 $r$ 改变；例如极差接近一时，均值必靠近区间中点。因此 $M$ 与 $R$ 不独立。

该条件分布可用 $(M,X_1-X_2)$ 的面积变换得到：联合密度在两个对应符号的可行区域内为常数，固定绝对差后，均值的允许线段长度恰为 $1-r$。这个反例把辅助分布与联合独立性明确分开，也说明条件推断为什么可能利用辅助量观察到的大小，而不把它解释为关于位置的直接证据。