边缘分布

边缘分布是从联合分布中只看一个变量的结果。若离散的 $X,Y$ 有联合概率表 $p(x,y)$，则 $X$ 的边缘概率为 $p_X(x)=\sum _{y}p(x,y)$；对 $Y$ 则沿另一个方向求和。“边缘”一词来自把行列总计写在概率表的边上。

从一张小表求总计

假设四个联合概率为 $p(0,0)=0.3$、$p(0,1)=0.2$、$p(1,0)=0.1$、$p(1,1)=0.4$；总和为 1。于是 $P(X=0)=0.3+0.2=0.5$，$P(X=1)=0.1+0.4=0.5$；而 $P(Y=0)=0.3+0.1=0.4$，$P(Y=1)=0.2+0.4=0.6$。两组边缘各自加起来都为 1。

连续情形若联合密度是 $f(x,y)$，则 $f_X(x)=\int f(x,y)dy$。积分的几何意义是将固定 $x$ 处沿 $y$ 方向的概率密度累积。由非负性和全平面积分为 1，可核验边缘密度也积分为 1。

边缘丢失了什么

上述表有 $P(X=0,Y=0)=0.3$，而边缘概率之积是 $0.5(0.4)=0.2$，所以变量不独立。若只保留边缘总计，这个依赖关系就看不出来。需要研究一起发生、条件分布或相关性时，应回到联合分布，不能用边缘分布替代。

参考资料

• MIT 18.05，Joint Distributions 讲义。
• MIT 6.041，概率论讲义。
• 继续阅读：联合分布、条件概率、概率密度函数。