连续现金流

连续现金流用一个随时间变化的流率描述款项的发生，再通过积分计算累计金额、现值或终值。流率的单位是“元/年”等金额除以时间的单位；它不是某一时点已经拥有的余额。

设一个合成的设备服务项目在五年内以每年 3,600 元的恒定流率产生净流入。为研究跨期换算，假设连续贴现率为 $r = 0.04 年^{- 1}$ 。这里先将频繁发生的小额款项理想化成连续流；若实际只有每月末付款，就应按照真实时点求和，二者的差别在后文计算。

金额和流率在图上怎样区分

用 $c (t)$ 表示时刻 $t$ 的现金流率，单位为元/年。很短的一段 $Δ t$ 年内，若流率变化很小，净流入约为 $c (t) Δ t$ 元。把小段相加、令分割变细，就得到从零到 $T$ 的未贴现总流入

$M = \int_{0}^{T} c (t) d t .$

本例 $c (t) = 3600 元/年$ 、 $T = 5 年$ ，所以 $M = 18000$ 元。图中的曲线高度是流率，曲线下的面积才是金额。 $3600 \times 5$ 的单位也印证了这一点。

横轴零到五年，现金流率恒为每年三千六百元，原始面积为一万八千元；折现后的流率从三千六百逐渐下降，其面积较小 — 同一笔较晚发生的流入，折算到时点零后贡献较小。两条曲线高度都是流率，面积都是金额。

现值：每一小段都先贴现

在连续贴现率 $r$ 下，时刻 $t$ 的一元钱换算到时点零为 $e^{- r t}$ 元。将小段流入 $c (t_{j}) Δ t_{j}$ 贴现，再相加：

$V_{0} \approx \sum_{j} c (t_{j}) e^{- r t_{j}} Δ t_{j} .$

若 $c$ 在有限区间上连续或分段连续，该黎曼和随最大分段长度趋于零而收敛，给出

$V_{0} = \int_{0}^{T} c (t) e^{- r t} d t .$

如果净流入可以为负，负值表示同一观察者的净流出，仍可按带符号的积分计算。指数中的 $r t$ 必须无量纲，不能将按月的 $t$ 直接配给按年的 $r$ 。Simon Fraser University：连续资金流与积分

本例的积分可直接算出：

$V_{0} = 3600 \int_{0}^{5} e^{- 0.04 t} d t = \frac{3600}{0.04} (1 - e^{- 0.2}) \approx 16314.232223 元 .$

这说明在给定贴现率下，未来五年的整条流入与时点零的约 16,314.23 元等值。它不自动等于项目的市场价格，也没有从数学公式中推断收入承诺一定实现。

终值：早来的钱有更长的累积时间

把评价时点改成第五年末。时刻 $t$ 发生的金额需要增长 $T - t$ 年，因此

$F_{T} = \int_{0}^{T} c (t) e^{r (T - t)} d t .$

将 $e^{r T}$ 提出积分，得到 $F_{T} = e^{r T} V_{0}$ 。在本例中，

$F_{5} = \frac{3600}{0.04} (e^{0.2} - 1) \approx 19926.248234 元 .$

未贴现总流入 18,000 元、现值约 16,314 元、第五年终值约 19,926 元，分别回答三个问题。不能仅因它们都以元为单位就把它们当作同一个量。

沿同一条五年时间轴，在第二年附近取一小段现金流，向零时点乘以指数负零点零四t，向第五年乘以指数零点零四乘五减t — 每段款项可以向前贴现，也可以向后累积。所有小段最终必须落在同一个评价时点，才能相加。

还可从余额的微分方程核对。若初始余额为零，所有净流入继续按率 $r$ 增长，则

$B^{'} (t) = r B (t) + c (t), B (0) = 0.$

乘以积分因子 $e^{- r t}$ ，左边成为乘积的导数：

$\frac{d}{d t} (e^{- r t} B (t)) = e^{- r t} c (t) .$

从零积到 $T$ ，即得 $B (T) = e^{r T} \int_{0}^{T} e^{- r t} c (t) d t = F_{T}$ 。现金流积分与一阶线性微分方程因而连接起来。

月末结算与连续流有多少差别

仍取每年 3,600 元。如果实际每月末收到 300 元，共六十笔，并保持相同的连续贴现规则，则现值应为

$V_{m o n t h} = \sum_{k = 1}^{60} 300 e^{- 0.04 k / 12} .$

按有限等比和计算， $V_{m o n t h} \approx 16287.056942$ 元，比连续模型的现值少约 $27.175281$ 元。这一差额来自款项发生时点的改变，未改变五年收到的 18,000 元总额。

因为所有款项被放在各月的最末端，而连续模型中的流入分布在整个月内，正贴现率下月末方案的现值略小。一般将五年等分成 $N$ 段、每段末支付 $3600 T / N$ ，得到

$V_{N} = \frac{3600 T}{N} \sum_{k = 1}^{N} e^{- r k T / N} .$

这是对递减函数 $3600 e^{- r t}$ 的右端点和，因而 $V_{N} \leq V_{0}$ ，且 $V_{N} \to V_{0}$ 。利用每段上端点、下端点所夹面积，还能给出误差界：

$0 \leq V_{0} - V_{N} \leq \frac{T}{N} 3600 (1 - e^{- r T}) .$

上下两图将五年分成五段与二十段，用各段右端点的贴现流率作矩形；更细的分割减小与曲线下方面积的差距 — 矩形代表段末一次结算，曲线下面积代表连续发生。减小时间间隔，二者逐渐接近。

连续现金流是一个能明确检验的近似，不是把“按月”在公式里悄悄改写成“每时每刻”。需要精确处理合同金额时，以实际时点和相应的计息、舍入规则为准。

流率增长、利率变化和无限期限

若合成项目的流率改为 $c (t) = c_{0} e^{g t}$ ，增长率 $g$ 与贴现率 $r$ 采用相同时间单位，则

$V_{0} = c_{0} \int_{0}^{T} e^{(g - r) t} d t = {\begin{matrix} c_{0} \frac{e^{(g - r) T} - 1}{g - r}, & g \neq r, \\ c_{0} T, & g = r . \end{matrix}$

这里比较的是流入增加与贴现减少的合成作用。当 $c_{0} > 0$ 、期限趋于无限时，积分有限的条件是 $r > g$ ，现值才等于 $c_{0} / (r - g)$ 。有限期限的积分即使 $g \geq r$ 也可以存在；不能把无限期限的收敛条件误套到五年项目。

若连续贴现率本身随时间变化为 $r (t)$ ，从零到 $t$ 的贴现因子为

$D (t) = \exp (- \int_{0}^{t} r (s) d s), V_{0} = \int_{0}^{T} c (t) D (t) d t .$

这一式子仍逐段贯彻同一原则：确定发生时点，确定跨期换算规则，再将所有款项换到共同的评价时点。

参考资料

Simon Fraser University：Math 158，Applications to Business and Economics。
University of British Columbia：Present and Future Values of a Continuous Income Stream。
Ronald J. Harshbarger、James J. Reynolds，Mathematical Applications for the Management, Life, and Social Sciences，第 10 版，第 13 章。