酉矩阵

酉矩阵（unitary matrix）是满足 $U^{\ast }U=I$ 的复方阵。它对复向量实施保内积的线性变换：长度、夹角所对应的内积关系以及正交性都得到保留。实数域中的对应对象是正交矩阵。

一个简单例子是 $U=\mathrm{diag}(i,1)$。它把第一个坐标的复相位旋转九十度，第二个坐标不变；因为 $|i|=1$，两个坐标的模平方之和保持不变。酉矩阵的元素无需都是实数。

列向量、逆与内积

$U^{\ast }U$ 的第 $(j,k)$ 个元素，是第 $j$ 列与第 $k$ 列的内积。因此酉条件等价于列向量构成一组标准正交基。又因方阵有左逆即为可逆矩阵，故 $$U^{-1}=U^{\ast },U{U}^{\ast }=I.$$ 反过来，若 $⟨Ux,Uy⟩=⟨x,y⟩$ 对所有 $x,y$ 成立，取标准基便得 $U^{\ast }U=I$；而由酉条件也直接有 $$⟨Ux,Uy⟩=x^{\ast }{U}^{\ast }Uy=x^{\ast }y.$$ 这完整说明了代数定义与保内积几何含义的等价关系。

若矩阵为长方形，$Q^{\ast }Q=I$ 只表示列标准正交，通常不能推出 $Q{Q}^{\ast }=I$。例如 $Q=(1,0{)}^{𝖳}$ 满足前式，后式却是 $\mathrm{diag}(1,0)$。本词条的“酉矩阵”始终指方阵。

一个混合坐标的算例

取 $$U=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& i\\ i& 1\end{array}\right).$$ 两列模平方和都是一，内积 $(i-i)/2=0$，故它酉。对 $x=(1,2{)}^{𝖳}$， $$Ux=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1+2i\\ 2+i\end{array}\right).$$ 输出的平方长度为 $(5+5)/2=5$，等于输入的 $1+4$。再施加 $U^{\ast }$ 可逐项恢复 $x$，不是对每个元素取倒数。

变式取 $y=(1,-2{)}^{𝖳}$。原内积 $x^{\ast }y=-3$，新向量为 $Uy=(1-2i,i-2{)}^{𝖳}/\sqrt{2}$。将输出的第一个向量先共轭再相乘，同样得到负三。只核对每个向量长度还不如核对这个混合内积直接。

特征值与复相位

若 $Uv=\lambda v,v\ne 0$，长度保持给出 $\Vert v\Vert =|\lambda |\Vert v\Vert$，所以 $|\lambda |=1$。酉矩阵还正规，因而可酉对角化为 $$U=W\mathrm{diag}(e^{i{\theta }_1},\dots ,e^{i{\theta }_n})W^{\ast }.$$ 它在一组正交复特征方向上分别改变相位。仅知道所有特征值模为一，却不足以保证酉：$\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ 的全部特征值都是一，但它把 $e_2$ 变成长度为 $\sqrt{2}$ 的向量。

酉变换的乘积和共轭转置仍酉，因为 $(UV{)}^{\ast }(UV)=V^{\ast }{U}^{\ast }UV=I$。它们因此可在换基、频域变换和矩阵分解中组合使用而不放大欧氏误差。不同坐标的物理单位若尚未统一，欧氏长度本身未必是合适的实际误差度量；保长度的代数结论仍只针对所选内积。

参考文献

Sheldon Axler，Linear Algebra Done Right，第四版，§7D（等距映射、酉算子）；本文例子与图解独立构造。