正交矩阵

正交矩阵（orthogonal matrix）是列向量两两垂直、每列长度均为 1 的实方阵。它把正交单位坐标架送到另一组正交单位坐标架，所以能转动或翻转图形，却不改变长度和夹角。以下以三阶矩阵为主，结论对任意阶实方阵成立。

从列向量得到判定式

把 $Q$ 的列记作 $q_1,q_2,q_3$。乘积 $Q^{𝖳}Q$ 的第 $i,j$ 个元素恰是 $q_i\cdot q_j$。因此三列构成正交单位组，等价于 $$Q^{𝖳}Q=I.$$ 这个式子说明 $Q^{𝖳}$ 是 $Q$ 的左逆；方阵有左逆就可逆，故 $Q^{-1}=Q^{𝖳}$，并且 $Q{Q}^{𝖳}=I$。于是行向量也两两垂直且长度为 1。

一次空间旋转

取绕 $z$ 轴逆时针旋转直角的矩阵 $$R=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$$ 它把 $e_1$ 送到 $e_2$，把 $e_2$ 送到 $-e_1$，而 $e_3$ 保持不动。每一列都是单位向量，且互相垂直，故 $R^{𝖳}R=I$。向量 $x=(2,1,3)$ 变为 $Rx=(-1,2,3)$；两者长度都为 $\sqrt{14}$。

图示旋转的 x、y 截面；三维中的 z 轴保持不动。

这种保持长度的现象可以一行推出来。对任意列向量 $x$， $$|Qx{|}^2=(Qx{)}^{𝖳}(Qx)=x^{𝖳}{Q}^{𝖳}Qx=x^{𝖳}x=|x{|}^2.$$ 把第二个 $x$ 换成 $y$，同样得到 $(Qx)\cdot (Qy)=x\cdot y$，所以非零向量的夹角也保留。任意两点 $x,y$ 的距离 $|x-y|$ 变成 $|Q(x-y)|$，同样不变。

反过来，若一个实矩阵的线性变换对每个向量都保持长度，则它也保持内积。由平方展开，$2u\cdot v=|u+v{|}^2-|u{|}^2-|v{|}^2$；把每个向量换成变换后的向量，右侧三项都不变，故 $(Qu)\cdot (Qv)=u\cdot v$。取 $u=e_i,v=e_j$，得到各列 $q_i\cdot q_j={\delta }_{ij}$，从而 $Q^{𝖳}Q=I$。这里“每个向量”不可替换为“某一个向量”：例如只检查 $e_2$ 无法察觉把 $e_1$ 拉长的变换。

旋转与反射的符号

对 $Q^{𝖳}Q=I$ 取行列式，得 $(detQ{)}^2=1$，所以 $detQ=1$ 或 $-1$。旋转例子的行列式为 1。若取反射 $S=\mathrm{diag}(-1,1,1)$，它把 $(x,y,z)$ 变成 $(-x,y,z)$，仍正交，但 $detS=-1$：空间的方向被翻转。三维中行列式为 1 的正交矩阵是绕某轴的旋转；行列式为 -1 的正交矩阵包含反向，不能单靠“长度保持”把它叫成旋转。

三阶可逆矩阵不一定正交。例如 $\mathrm{diag}(2,1,1)$ 的行列式为 2，可逆，却把 $e_1$ 的长度加倍；检验 $Q^{𝖳}Q$ 才能判别正交。若要把任意列向量逐步变为正交单位组，可看Gram-Schmidt正交化。

反过来也不能只用 $|detQ|=1$ 判断正交。平面剪切 $T=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ 的行列式为 1，面积保持不变，但 $T(0,1)=(1,1)$，长度由 1 变为 $\sqrt{2}$。面积不变比所有长度都不变弱得多。

参考资料

• MIT OpenCourseWare，18.06SC，Orthogonal Matrices and Gram–Schmidt 单元：正交矩阵及其逆。
• MIT OpenCourseWare，18.065，Lecture 3：正交列、长度保持与 $Q^{𝖳}Q=I$。
• 继续阅读：矩阵、行列式、Gram-Schmidt正交化。