闵可夫斯基和

闵可夫斯基和（Minkowski sum）把两个集合中的向量逐一相加。对 $A,B\subseteq {ℝ}^n$，定义 $$A+B=\{a+b:a\in A,b\in B\}.$$ 它与并集不同：输出点可以既不属于 $A$，也不属于 $B$。等价地，可将 $A$ 按 $B$ 中每个向量平移，再取全部平移结果的并。

取矩形 $A=[0,2]\times [0,1]$，以及斜线段 $B=\{(t,t):0\le t\le 1\}$。沿线段移动矩形，扫出的和为六边形，顶点依次是 $(0,0),(2,0),(3,1),(3,2),(1,2),(0,1)$。这里没有把斜线段误换成 $[0,1{]}^2$；同一个参数 $t$ 同时决定两个坐标。

加入一条斜线段相当于沿该线段平移矩形，边界产生两个斜边。

用凸组合推导六边形

若 $A=\mathrm{conv}\{a_i\}$、$B=\mathrm{conv}\{b_j\}$ 是有限点凸包，则 $$A+B=\mathrm{conv}\{a_i+b_j\}.$$ 证明先写 $a=\sum _i{\alpha }_i{a}_i$、$b=\sum _j{\beta }_j{b}_j$，两组权重非负且各和为一。于是 $$a+b=\sum _{i,j}{\alpha }_i{\beta }_j(a_i+b_j),$$ 新权重仍非负，总和为一，得到左边包含于右边。反向任意 $\sum _{i,j}{\gamma }_{ij}(a_i+b_j)$ 可拆成 $\sum _i(\sum _j{\gamma }_{ij})a_i+\sum _j(\sum _i{\gamma }_{ij})b_j$，两项分别属于 $A,B$，得到另一包含。

主例的矩形有四个顶点，线段有两个端点，故先得到八个端点和。其中 $(1,1)$ 和 $(2,1)$ 在所得凸包内部，其余六个为边界顶点。点 $(5/2,3/2)$ 可分解成 $(2,1)+(1/2,1/2)$，因此属于和；点 $(3,0)$ 却不属于，因为达到横坐标三要求 $a_1=2,t=1$，进而纵坐标至少为一。

基本运算与凸性

向量加法的交换律与结合律直接给出 $A+B=B+A$、$(A+B)+C=A+(B+C)$。单点集 $\{0\}$ 为单位元，$A+\{c\}$ 是平移；若任一集合为空，和也为空。

若 $A,B$ 都凸，则和凸：对两个和点 $a_1+b_1,a_2+b_2$，其参数 $t$ 的凸组合等于 $[t{a}_1+(1-t)a_2]+[t{b}_1+(1-t)b_2]$，两部分各留在对应集合。若两集合紧，笛卡尔积紧、加法连续，故和也紧，因而闭且有界。

对凸集 $C$ 和非负 $\alpha ,\beta$，有 $\alpha C+\beta C=(\alpha +\beta )C$。当总系数正时，将两个点按 $\alpha /(\alpha +\beta )$ 与 $\beta /(\alpha +\beta )$ 作凸组合即可；总系数为零时双方均为 $\{0\}$，假定 $C$ 非空。非凸集不能照搬：$C=\{0,1\}$ 时，$C+C=\{0,1,2\}$，而 $2C=\{0,2\}$。

支撑函数把集合和变成函数和

对非空集合，独立选择 $a\in A,b\in B$ 给出 $$h_{A+B}(u)=h_A(u)+h_B(u).$$ 左边的每个内积为 $u^{𝖳}a+u^{𝖳}b$，不超过右边，因此有一个方向的不等式；当两上确界有限时，可各选距离上界小于 $\epsilon /2$ 的点，相加后距离总上界小于 $\epsilon$，得到反向。若其中一个上界无穷，固定另一个集合的一点即可使和的内积任意大，等式仍成立。

主例中 $h_A(u)=2max(u_1,0)+max(u_2,0)$，$h_B(u)=max(u_1+u_2,0)$。方向 $(1,1)$ 的支撑值为 $3+2=5$，由顶点 $(3,2)$ 达到；方向 $(1,-1)$ 的值为二，整条从 $(2,0)$ 到 $(3,1)$ 的边都达到它。由此可核对六边形的两条不同支撑边。

平移碰撞与集合差的符号

若形状 $B$ 平移到位置 $q+B$，它与障碍物 $A$ 相交，当且仅当 $$q\in A+(-B).$$ 因为相交等价于存在 $a\in A,b\in B$ 使 $q+b=a$，也就是 $q=a-b$。这是把形状碰撞转为一个点是否落入配置障碍区域的依据。$A+(-B)$ 收集所有点差，不能将它当作普通的集合移除 $A\setminus B$。即使 $A=B$，前者通常包含大量向量，后者却为空。