降阶模型

降阶模型（reduced-order model，ROM）用较少的状态变量近似原模型的某些行为。它通常用于多次模拟、参数搜索或控制计算：原模型可能需要描述大量网格点，而关心的输出只由其中少数协同变化的方向主导。减少维数之后仍须检查输出误差和动力性质，变量变少本身不是正确性证据。

用少数系数表示状态

考虑线性常系数输入输出系统 $$\dot{x}=Ax+Bu,y=Cx,$$ 其中 $x\in {ℝ}^n$ 是状态，$u\in {ℝ}^p$ 是输入，$y\in {ℝ}^q$ 是输出，矩阵维数分别为 $n\times n,n\times p,q\times n$。取列正交的 $V\in {ℝ}^{n\times r}$，$r<n$，以 $\hat{x}=Vz$ 近似状态。

近似方程的残差为 $V\dot{z}-AVz-Bu$。要求它与所选空间正交，即左乘 $V^{𝖳}$ 后为零，得到Galerkin降阶系统 $$\dot{z}=A_{r}z+B_{r}u,\hat{y}=C_{r}z,A_r=V^{𝖳}AV,B_r=V^{𝖳}B,C_r=CV.$$ 初始系数通常选 $z(0)=V^{𝖳}x(0)$。这一步是“把方程投影”，与仅压缩几张状态快照不同。基可由本征正交分解、子空间迭代或其他方法构造。

降阶系统推进的是少数系数，不是每一步都先求完整高维解。构建基与小矩阵的开销主要发生在准备阶段。

三状态系统的完整算例

令教学模型的状态和输入均已无量纲化： $$A=\mathrm{diag}(-1,-3,-10),B=(1,1,1{)}^{𝖳},C=(1,0,1/10).$$ 零初值下施加常值输入 $u(t)=1$。三个分量的解分别为 $$x_1=1-e^{-t},x_2=\frac{1-e^{-3t}}{3},x_3=\frac{1-e^{-10t}}{10},$$ 因而输出为 $$y(t)=1-e^{-t}+\frac{1-e^{-10t}}{100}.$$ 若取 $V=(1,0,0{)}^{𝖳}$，就有 $A_r=-1,B_r=1,C_r=1$，降阶输出为 $\hat{y}=1-e^{-t}$。差值精确为 $$y(t)-\hat{y}(t)=\frac{1-e^{-10t}}{100},0\le y(t)-\hat{y}(t)<\frac{1}{100}(t\ge 0).$$ 这里严格上界对有限时间成立，其上确界为 $1/100$。它不是通过看两条曲线很接近来估计，而是由解析式直接推出。

主体输出几乎重合，误差图则把被删去快速状态的贡献单独显示。

在 $t=\log 2$ 时，$\hat{y}=1/2$，误差为 $(1-2^{-10})/100=1023/102400$。变式把输出改成 $C=(1,0,1)$：相同的基和降阶动力给出相同 $\hat{y}$，但误差上确界变成 $1/10$。哪些方向可以丢弃取决于输出目标，不能只看状态衰减快慢。

从残差得到误差关系

令 $r(t)=\dot{\hat{x}}-A\hat{x}-Bu$，状态误差 $e=x-\hat{x}$ 满足 $$\begin{array}{cc}\dot{e}& =Ae-r,\\ e(t)& =e^{At}e(0)-{\int }_0^t{e}^{A(t-s)}r(s)\mathrm{d}s.\end{array}$$ 若已知相容范数下 $\Vert e^{At}\Vert \le M{e}^{-\alpha t}$，其中 $M\ge 1,\alpha >0$，三角不等式给出 $$\Vert e(t)\Vert \le M{e}^{-\alpha t}\Vert e(0)\Vert +M{\int }_0^t{e}^{-\alpha (t-s)}\Vert r(s)\Vert \mathrm{d}s.$$ 再乘 $\Vert C\Vert$ 即得输出误差界。这个关系说明：初值投影误差、残差大小与系统对扰动的放大共同决定误差。残差与所选子空间正交，并不意味着残差本身为零。

稳定性与计算成本

若 $A$ 实对称负定，则对任意非零 $z$，$z^{𝖳}{A}_{r}z=(Vz{)}^{𝖳}A(Vz)<0$，所以正交Galerkin投影保留这一负定性。一般稳定矩阵却没有相同保证。例如 $$A=\left(\begin{array}{cc}-1& 10\\ 0& -2\end{array}\right),V=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1{)}^{𝖳}$$ 的原系统特征值为 $-1,-2$，但 $A_r=7/2>0$，降阶系统不稳定。这个反例使“训练误差小”和“动力稳定”不能相互替代。

对稠密线性系统，形成小矩阵后，一次矩阵向量乘法从约 $O(n^2)$ 降至 $O(r^2)$，但每次完整重建仍需 $O(nr)$。非线性系统若仍需在全部网格点计算 $f(Vz)$，仅减少系数数目未必节省主要开销；常需额外的超降阶或结构处理。

模型验收应使用未参与建基的输入、初值或参数，报告关心输出的绝对或相对误差及适用时间段。对接近零的输出，相对误差可能失去意义；对训练范围外的动力行为，不应从少数样本重建结果作保证。