隐函数求导

隐函数求导用一个关系式直接求曲线上局部斜率，而不必先把 $y$ 解成全局唯一的 $x$ 的函数。例如圆 $x^2+y^2=25$ 上半部可以写成 $y=\sqrt{25-x^2}$，下半部写成负平方根；关系式本身同时包含两半。

沿圆周走，两个坐标一起变化

在圆上一段可以把 $y$ 看成随 $x$ 变化的局部函数。对等式两侧关于 $x$ 求导：$x^2$ 变成 $2x$，$y(x{)}^2$ 按链式法则变成 $2y{y}^{\prime }$，于是 $$2x+2y{y}^{\prime }=0,y^{\prime }=-\frac{x}{y}(y\ne 0).$$ 在点 $(3,4)$，切线斜率为 $-3/4$，切线方程是 $y-4=-\frac{3}{4}(x-3)$。把 $(3,4)$ 代回圆方程、把切线斜率与半径从原点到该点的斜率 $4/3$ 相乘得到 −1，提供两个独立检查。

同样的方法不局限于圆。曲线 $e^{xy}+y=2$ 经过 $(0,1)$。把 $y$ 看作局部函数，对两边求导有 $e^{xy}(y+x{y}^{\prime })+y^{\prime }=0$；在 $(0,1)$ 代入，得到 $1+y^{\prime }=0$，故切线斜率为 −1。这个例子中内层 $xy$ 的导数是 $y+x{y}^{\prime }$，同时用到了乘积法则与链式法则；若把 $y$ 误当常数，只会算出曲面关于 $x$ 的偏导，而不是曲线的斜率。

什么时候不能除以某个偏导

一般设曲线由 $F(x,y)=0$ 给出，且 $F$ 在点附近连续可微。若在 $(a,b)$ 有 $F(a,b)=0$、$F_y(a,b)\ne 0$，局部隐函数定理保证附近可将 $y$ 写成 $x$ 的可微函数；对 $F(x,y(x))=0$ 求导给出 $$y^{\prime }(a)=-\frac{F_x(a,b)}{F_y(a,b)}.$$ 分母条件不是排版小事。圆上 $(5,0)$ 的 $F_y=2y=0$，该处切线竖直，不能用有限的 $dy/dx$ 表达，却可以局部把 $x$ 写成 $y$ 的函数。在 $F_x=F_y=0$ 的奇异点，单凭一阶公式不能判定曲线形状；例如 $y^2=x^2$ 在原点有两条交叉直线。

参考资料

• OpenStax《Calculus Volume 1》§3.8：隐式关系上的求导与切线。
• 同书卷三 §4.5：多变量复合关系的链式法则。