马尔可夫调制泊松过程

马尔可夫调制泊松过程（Markov-modulated Poisson process，MMPP）是由一个隐马尔可夫状态控制到达强度的计数过程。给定完整状态路径后，到达是非齐次泊松过程；未观测状态时，随机强度会使计数出现持续的高峰或低谷，通常不再具有普通齐次泊松过程的独立增量。

连续时间状态与到达强度

令 $J_t$ 是有限状态连续时间马尔可夫链，生成矩阵为 $Q$，各行和为零、非对角元素非负。状态 $i$ 的到达强度为 ${\lambda }_i\ge 0$，记 $\Lambda =\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_q)$。给定状态路径，计数 $N(t)$ 在区间上的条件均值是累计强度 $$A_t={\int }_0^t{\lambda }_{J_s}\mathrm{d}s,N(t)\mid (J_s{)}_{0\le s\le t}\sim \mathrm{Poisson}(A_t).$$ 构造中可用独立单位速率泊松过程 $P$ 写成 $N(t)=P(A_t)$。状态跃迁与到达是不同事件；到达不会在标准MMPP定义中主动改变隐状态。

上方阶梯线是给定状态路径的到达强度，下方折线是其积分。累计强度不是实际到达数，实际计数还包含条件泊松波动。

过度离散的推导

条件泊松均值和方差均为 $A_t$。使用全期望及全方差公式， $$𝔼[N(t)]=𝔼[A_t],\mathrm{Var}(N(t))=𝔼[A_t]+\mathrm{Var}(A_t).$$ 额外的第二项来自状态路径不确定性。若累计强度不是常数，方差就大于均值；把平均强度代入普通泊松分布，会漏掉这部分波动。这个论证也适用于更一般的随机强度泊松模型，不需要先算出复杂的计数概率。

两状态平稳模型

以小时为时间单位，取 $$Q=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 2& -2\end{array}\right),({\lambda }_1,{\lambda }_2)=(1,5)\text{次/小时}.$$ 第一状态平均停留一小时，第二状态平均停留半小时。解 $\pi Q=0,{\pi }_1+{\pi }_2=1$，得平稳概率 $\pi =(2/3,1/3)$。若从平稳状态开始，平均强度为 $\overline{\lambda }=2/3+5/3=7/3$ 次/小时，故一小时计数均值为 $7/3$。

两状态转移概率以速率 $1+2=3$ 衰减到平稳值。因此强度协方差为 $\mathrm{Cov}({\lambda }_{J_0},{\lambda }_{J_u})=(32/9)e^{-3u}$；系数 $32/9$ 由两点分布的方差直接求得。将积分的方差写成双重积分，并按时间差合并，得到 $$\mathrm{Var}(A_t)=2{\int }_0^t(t-u)\frac{32}{9}{e}^{-3u}\mathrm{d}u=\frac{64}{9}[\frac{t}{3}-\frac{1-e^{-3t}}{9}].$$ 这里的 $t$ 表示以小时计的数值。取 $t=1$，方差约为 $7/3+1.6196\approx 3.9529$，大于均值约 $2.3333$。

虚线为平均强度7/3的普通泊松方差，实线含隐状态造成的额外方差。两者具有相同计数均值。

变式。 将两个状态强度都改成三，而保持 $Q$ 不变。累计强度变为确定的 $3t$，所以额外方差为零，计数退化为速率三的普通泊松过程。隐状态仍变化，却不再影响到达机制。

无到达概率与观测似然

令行向量 $r(t)$ 的第 $i$ 个分量表示到 $t$ 没有到达且当前处于状态 $i$ 的概率。短时间内状态按 $Q$ 转移，而发生到达会离开“无到达”事件，故 $$r^{\prime }(t)=r(t)(Q-\Lambda ),r(0)=\pi ,Pr(N(t)=0)=\pi e^{(Q-\Lambda )t}\mathrm{𝟏}.$$ 这说明为何事件时间的似然会交替出现无到达传播矩阵 $e^{(Q-\Lambda )\Delta t}$ 和到达因子 $\Lambda$。若观察到一个固定终止时刻，还须计入最后一次到达之后没有事件的尾段。

高峰计数本身不能证明存在隐状态切换；确定的周期趋势、自激机制或遗漏变量也可能产生聚集。MMPP中的状态数、转移率与强度需在所选观察尺度下共同估计并检验。