1998年国赛A题：投资的收益和风险

1998年国赛A题：投资的收益和风险是1998年全国大学生数学建模竞赛的A题。

投资对象与费用条件

一家公司准备将一笔数额相当大的资金 $M$ 用于一个时期的投资。市场上有 $n$ 种可选资产 $S_{i}$ ，例如股票、债券。对每种资产，已估计该时期内的平均收益率 $r_{i}$ 、风险损失率 $q_{i}$ 和交易费率 $p_{i}$ 。

公司采用题目指定的风险口径：同时投资若干种资产时，以所投资资产中的最大风险衡量总体风险。目标是在选择资产与银行存款的组合时，使扣除交易费后的净收益尽可能大，同时使总体风险尽可能小。

每种资产有一个收费门槛 $u_{i}$ 。没有购买该资产时不收费；有购买且金额不超过 $u_{i}$ 时，交易费按购买 $u_{i}$ 的金额计算；超过门槛时按实际购买金额和费率收费。同期银行存款利率为 $r_{0} = 5 %$ ，存款不承担题目所说的风险，也没有交易费。

在给定资金 $M$ 下，从下列四种资产和银行存款中安排资金，设计符合上述收益、风险目标的投资组合。

资产编号	平均收益率 r（%）	风险损失率 q（%）	交易费率 p（%）	收费门槛 u（元）
1	28	2.5	1	103
2	21	1.5	2	198
3	23	5.5	4.5	52
4	25	2.6	6.5	40

讨论一般的 $n$ 种资产情形，并用以下数据进行计算。资金总额仍用题设的 $M$ 表示，不另加原题未给定的固定预算。